《2025年课时练人民教育出版社九年级数学上册人教版》

8. 如图 23.2.1-20，在□ABCD 和菱形 ABEF 中，AB = 4，BC = 3，O 是△ABC 和△CDA 的对称中心，O′是△ABE 和△EFA 的对称中心，若 OO′ = d，则 d 的取值范围是0.5≤d≤3.5.

答案： 8.0.5≤d≤3.5

9. 如图 23.2.1-21，已知四边形 ABCD.
(1)画出四边形 $ A_1B_1C_1D_1 $，使四边形 $ A_1B_1C_1D_1 $ 与四边形 ABCD 关于直线 MN 成轴对称；
(2)画出四边形 $ A_2B_2C_2D_2 $，使四边形 $ A_2B_2C_2D_2 $ 与四边形 ABCD 关于点 O 中心对称；
(3)四边形 $ A_1B_1C_1D_1 $ 与四边形 $ A_2B_2C_2D_2 $ 是否对称？若对称，请在图中画出对称轴或对称中心.

答案：
9.解:
(1)如答图23.2.1-4所示.
(2)如答图23.2.1-4所示.
(3)如答图23.2.1-4所示,四边形A₁B₁C₁D₁与四边形A₂B₂C₂D₂对称,对称轴为图中的直线EF.

10. 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图 23.2.1-22①，在△ABC 中，若 AB = 5，AC = 3，求 BC 边上的中线 AD 的取值范围.
解决方法：延长 AD 到 E，使得 DE = AD，再连接 BE（或将△ACD 绕点 D 逆时针旋转 180°得到△EBD），把 AB，AC，2AD 集中在△ABE 中，利用三角形的三边关系可得 2 ＜ AE ＜ 8，则 1 ＜ AD ＜ 4.
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.
请根据上述解题方法，解答下列问题：
如图 23.2.1-22②，在△ABC 中，D 是 BC 边上的中点，DE⊥DF，DE 交 AB 于点 E，DF 交 AC 于点 F，连接 EF.
(1)求证：BE + CF ＞ EF；
(2)若∠A = 90°，探索线段 BE，CF，EF 之间的等量关系.

答案：

(1)证明:如答图23.2.1-5,延长FD到点G,使得DG=DF,连接BG,EG(或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD).由上可知△BGD和△CFD成中心对称,所以CF=BG.因为DF=DG,DE⊥DF,所以ED是线段FG的垂直平分线,所以EF=EG.在△BEG中,BE+BG＞EG,即BE+CF＞EF.
(2)解:若∠A=90°,则∠EBC+∠FCB=90°.由
(1)知,∠FCD=∠DBG,EF=EG,BG=CF.所以∠EBC+∠DBG=90°,即∠EBG=90°,所以在Rt△EBG中,BE²+BG²=EG²,所以BE²+CF²=EF².