《2025年课时练人民教育出版社九年级数学上册人教版》

3. 如图 $24.2.2 - 36$ 所示，$PA$，$PB$ 分别与$\odot O$相切于 $A$，$B$ 两点，$\angle APB = 60°$，则$\angle 1$ 的度数为30°，若 $OP = 4$，则$\odot O$ 的半径为2.

答案： 3.30°　2

【例 1】如图 $24.2.2 - 37$，$P$ 为$\odot O$ 外一点，$PA$，$PB$ 均为$\odot O$ 的切线，$A$ 和 $B$ 是切点，$BC$ 是直径. 求证：
(1)$\angle APB = 2\angle ABC$；
(2)$AC// OP$.
思考 $1$：由切线长定理可得 $\angle APB = 2$∠APO $= 2$∠BPO，所以要证$\angle APB =2\angle ABC$，可转化为证$\angle ABC =$∠APO 或$\angle ABC =$∠BPO.
思考 $2$：当几何图形中出现两个以上的直角三角形时，要证两角相等，常用什么定理？
思考 $3$：由圆的性质可得 $AC\perp$AB，因此要证 $AC// OP$，只需证 $OP$ 也垂直于AB.
证明：

答案： 思考1:∠APO　∠BPO　∠APO ∠BPO
　思考2:等角或同角的余角相等.
　思考3:AB　AB
　证明:
(1)设AB交OP于F，连接AO(图略).因为PA,PB均为⊙O的切线，A和B是切点，所以∠APO=∠BPO,PA=PB,OB⊥BP,
　所以∠BPO+∠BOP=90°,∠APB=2∠BPO.
　因为OA=OB，所以PO垂直平分AB.所以∠OFB=90°.
　所以∠OBA+∠BOP=90°,
　所以∠ABC=∠BPO.
　所以∠APB=2∠ABC.
(2)由
(1)知∠OFB=90°.
　因为BC是直径，所以∠CAB=90°.
　所以∠CAB=∠OFB.
　所以AC//OP.

1. (山东济南中考) 把直尺、三角尺和圆形螺母按如图 $24.2.2 - 39$ 所示的方式放置于桌面上，$\angle CAB = 60°$，若量出 $AD =6\mathrm{cm}$，则圆形螺母的外直径是(D)

A.$12\mathrm{cm}$
B.$24\mathrm{cm}$
C.$6\sqrt{3}\mathrm{cm}$
D.$12\sqrt{3}\mathrm{cm}$

答案： 1.D

【例 2】如图 $24.2.2 - 40$，$\odot O$ 内切于$\triangle ABC$，切点分别是 $E$，$F$，$G$. 若$\angle C = 90°$，$AC =6$，$BC = 8$，求$\odot O$ 的半径.
思考：要求$\odot O$ 的半径，应在图形中先画出$\odot O$ 的半径，那么构造哪条半径便于运算？ 为什么？
解：

答案：
思考:连接OE,OF，因为可构造正方形OECF，利用正方形的性质把⊙O的半径转移到△ABC的边上.
　解:如答图24.2.2−7,连接OE,OF.
　因为AC=6,BC=8,
　　　　　　　　　　　
　所以AB=$\sqrt{6^2+8^2}$=10.
　设⊙O的半径为r.
　因为⊙O内切于△ABC,
　所以OE⊥AC于点E,OF⊥BC于点F,CE=CF,AE=AG,BF=BG.
　因为∠C=90°,所以四边形OECF为正方形.
　所以CE=CF=OE=r,AE=AG=6−r,BF=BG=8−r.
　因为AG+BG=AB,
　所以6−r+8−r=10.解得r=2.
　所以⊙O的半径为2.