《2025年课时练人民教育出版社九年级数学上册人教版》

1. 已知两个数的和为 8，积为 12，求这两个数.
若设一个数为 $ x $，则根据两数之和为 8，可得另一个数为8-x，根据两数之积为 12，可列方程为x(8-x)=12，整理，得x²-8x+12=0.

答案： 1.8-x x(8-x)=12 x²-8x+12=0

2. 一个矩形的长比宽多 4，面积为 21，设矩形宽为 $ x $，由长比宽多 4 得长为x+4，根据矩形面积公式可列方程为x(x+4)=21，整理，得x²+4x-21=0.

答案： 2.x+4 x(x+4)=21 x²+4x-21=0

3. 观察上面两个方程，与一元一次方程相比，有什么不同点？有什么共同点？

答案： 3.不同点:一元一次方程未知数的次数都为1,而上面两个方程未知数的最高次数都是2.共同点:①都只含有一个未知数,②都是整式方程.

1. 等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.

答案： 1.一 2

2. 一般形式：ax²+bx+c=0( $ a $，$ b $，$ c $ 为常数，$ a \neq 0 $)。其中ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.

答案： 2.ax²+bx+c=0 ax² a bx b c

使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.

答案： 未知数 根

1. 如果 5 是方程 $ x^{2}-c = 0 $ 的一个根，那么 $ c $ 的值是(A)

A.25
B.$ -25 $
C.5
D.$ -5 $

答案： 1.A

2. 一元二次方程 $ x^{2}-2x = 1 $ 的一般形式为x²-2x-1=0，二次项为x²，一次项为-2x，常数项为-1.

答案： 2.x²-2x-1=0 x² -2x -1

3. 下列方程是一元二次方程的是③④.
① $ 2x - 3 = 4x + 1 $；② $ x^{2}+2y - 1 = 0 $；③ $ x^{2}+2x - 3 = 0 $；④ $ x^{2}-2 = 0 $.

答案： 3.③④

【例 1】当 $ a $ 为何值时，$ (a - 1)x^{|a| + 1}+4x - 2 = 0 $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程？
思考 1：根据方程是关于 $ x $ 的一元二次方程，得方程中未知数的最高次数为2，则 $ |a| + 1 = $2.
思考 2：因为一元二次方程的二次项系数不为 0，所以 $ a - 1 $≠0.
解：
【一题多变】
(改变条件)若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (a + 1)x^{2}+4x + |a| - 1 = 0 $ 的常数项为 0，则 $ a $ 为何值？

答案： 思考1:2 2 思考2:≠0 解:当a=-1时$,(a-1)x^{|a|+1}+4x-2=0$是关于x的一元二次方程. [一题多变] 解:a=1.