《2025年一遍过八年级数学上册苏科版》

1 [2024 南通海门区月考]平移直线 $ y = \frac{x}{3} $ 得到 $ y = \frac{x}{3} + \frac{5}{3} $ 的图象,那么直线 $ y = \frac{x}{3} $ 必须(A)
A.向上平移 $ \frac{5}{3} $ 个单位长度
B.向下平移 $ \frac{5}{3} $ 个单位长度
C.向左平

移

$ \frac{5}{3} $ 个单位长度
D.向右平移 $ \frac{5}{3} $ 个单位长度

答案： 【解析】：
本题考查的是一次函数图象的平移。
首先，我们观察两个函数：$y=\frac{x}{3}$ 和 $y=\frac{x}{3}+\frac{5}{3}$。
可以看出，第二个函数相较于第一个函数，在y值上增加了一个常数项$\frac{5}{3}$。
根据一次函数图象平移的性质，当函数$y=f(x)$沿y轴方向平移$k$个单位时，新的函数表达式将变为$y=f(x)+k$。
在本题中，由于$y=\frac{x}{3}+\frac{5}{3}$相较于$y=\frac{x}{3}$在y值上增加了$\frac{5}{3}$，因此可以判断，直线$y=\frac{x}{3}$是向上平移了$\frac{5}{3}$个单位长度。
【答案】：
A.向上平移 $\frac{5}{3}$ 个单位长度。

2 教材练习变式 先画图,再回答问题:
(1)在同一平面直角坐标系内画出一次函数 $ y = 2x + 4,y = 2x,y = 2x - 2 $ 的图象;
(2)直线 $ y = 2x,y = 2x + 4,y = 2x - 2 $ 具有怎样的位置关系? 直线 $ y = 2x $ 如何运动得到直线 $ y = 2x + 4 $, 如何运动得到直线 $ y = 2x - 2 $?

答案：

(2)直线$y = 2x$，$y = 2x + 4$，$y = 2x - 2$是平行的，
因为它们的斜率都是$2$。
直线$y = 2x$向上平移$4$个单位得到直线$y = 2x + 4$，
向下平移$2$个单位得到直线$y = 2x - 2$。

3 [2023 通辽中考]在平面直角坐标系中,一次函数 $ y = 2x - 3 $ 的图象是(D)

答案： 【解析】：
本题可根据一次函数$y = kx + b$（$k$，$b$为常数，$k\neq0$）的性质，通过分析函数$y = 2x - 3$中$k$和$b$的正负来确定函数图象所经过的象限，进而选出正确的图象。
对于一次函数$y = kx + b$（$k$，$b$为常数，$k\neq0$）：
当$k\gt0$时，函数从左到右上升，$y$随$x$的增大而增大；当$k\lt0$时，函数从左到右下降，$y$随$x$的增大而减小。
当$b\gt0$时，直线与$y$轴正半轴相交；当$b\lt0$时，直线与$y$轴负半轴相交。
在函数$y = 2x - 3$中，$k = 2\gt0$，所以函数从左到右上升，$y$随$x$的增大而增大；$b = - 3\lt0$，所以直线与$y$轴负半轴相交。
直线与$x$轴相交时，$y = 0$，即$2x - 3 = 0$，解方程可得$x=\frac{3}{2}$，所以直线与$x$轴的交点坐标为$(\frac{3}{2},0)$。
接下来分析各个选项：
选项A：该直线从左到右上升，$y$随$x$的增大而增大，与$y$轴正半轴相交，与$x$轴交点横坐标为负，不符合$y = 2x - 3$的性质，所以选项A错误。
选项B：该直线从左到右下降，$y$随$x$的增大而减小，不符合$y = 2x - 3$中$k\gt0$，函数从左到右上升的性质，所以选项B错误。
选项C：该直线从左到右上升，$y$随$x$的增大而增大，与$y$轴正半轴相交，不符合$y = 2x - 3$中$b\lt0$，直线与$y$轴负半轴相交的性质，所以选项C错误。
选项D：该直线从左到右上升，$y$随$x$的增大而增大，与$y$轴负半轴相交，且与$x$轴交点横坐标为$\frac{3}{2}$，符合$y = 2x - 3$的性质，所以选项D正确。
【答案】：D

一次函数 $ y = -x - 2 $ 的图象不经过下列哪个象限? (A)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 【解析】：
本题考查的是一次函数的图像与性质。
对于一次函数$y=kx+b$（$k$，$b$为常数，$k≠0$），当$k＞0$时，函数图像是一个从左到右上升的直线；当$k＜0$时，函数图像是一个从左到右下降的直线。
当$b＞0$时，直线与$y$轴正半轴相交；当$b＜0$时，直线与$y$轴负半轴相交；当$b=0$时，直线过原点。
对于函数$y=-x-2$，其中$k=-1$，$b=-2$。
由于斜率$k=-1＜0$，所以函数图像是一个从左到右下降的直线。
又因为截距$b=-2＜0$，所以直线与$y$轴负半轴相交。
根据这些信息，可以确定函数图像会经过第二象限、第三象限和第四象限，但不会经过第一象限。
【答案】：
A

5 一题多解 一次函数 $ y = ax + b $,若 $ a - b = 2 $,则它的图象必经过点(C)
A.$ (1,-2) $
B.$ (-1,2) $
C.$ (-1,-2) $
D.$ (1,2) $

答案： 解：由题意得 $a - b = 2$，则 $b = a - 2$。
将 $b = a - 2$ 代入一次函数 $y = ax + b$，得 $y = ax + a - 2$，即 $y = a(x + 1) - 2$。
当 $x + 1 = 0$ 时，$x = -1$，此时 $y = -2$。
所以函数图象必经过点 $(-1, -2)$。
答案：C

6 [2024 淮安开明中学期中]已知点 $ (m,7) $ 在一次函数 $ y = -3x + 1 $ 的图象上,则 $ m = $-2.

答案： 【解析】：
本题主要考查一次函数的定义，即函数图象上的点的坐标满足函数解析式。
已知点$(m,7)$在一次函数$y = -3x + 1$的图象上，根据一次函数的定义，该点的坐标应满足函数解析式。
将点$(m,7)$的坐标代入函数解析式$y = -3x + 1$，得到：
$7 = -3m + 1$，
解这个方程，可以得到$m$的值。
【答案】：
解：
∵点$(m,7)$在一次函数$y = -3x + 1$的图象上，
∴将点$(m,7)$代入函数解析式得：
$7 = -3m + 1$，
移项并化简得：
$-3m = 6$，
除以$-3$得：
$m = -2$，
故答案为：$-2$。

7 新趋势·结论开放 [2023 无锡中考]请写出一个函数的表达式,使得它的图象经过点 $ (2,0) $:$y = x - 2$（答案不唯一）.

答案： 【解析】：
本题考查的是一次函数的图象与性质。
由于函数需要经过点 (2,0)，可以选择一次函数的标准形式 y = kx + b，其中k是斜率，b是截距。
为了简化计算，可以选择 k = 1（或其他任何非零值），然后通过代入点 (2,0) 来求解 b。
设函数为 y = x + b，
代入点 (2,0) 得：
0 = 2 + b
解得：
b = -2
因此，一个可能的函数表达式是 y = x - 2。
需要注意的是，这个题目答案不唯一，因为只要满足图象经过点 (2,0) 的函数都可以作为答案。
【答案】：
$y = x - 2$（答案不唯一）

8 一次函数 $ y = \frac{4}{3}x - m $ 的图象经过点 $ P(-6,-4) $,且与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别交于点 $ A,B $,则 $ \triangle AOB $ 的面积为6.

答案： 【解析】：
本题主要考察一次函数的图象与坐标轴交点的求解，以及三角形面积的计算。
首先，将点$P(-6,-4)$代入一次函数$y = \frac{4}{3}x - m$，以求出$m$的值。
然后，利用求得的$m$值，找到一次函数与$x$轴和$y$轴的交点$A$和$B$。
最后，根据三角形面积的计算公式，求出$\triangle AOB$的面积。
【答案】：
解：
将点$P(-6,-4)$代入一次函数$y = \frac{4}{3}x - m$，得到：
$-4 = \frac{4}{3} × (-6) - m$
$-4 = -8 - m$
$m = 4$
所以，一次函数的解析式为$y = \frac{4}{3}x - 4$。
当$x = 0$时，$y = -4$，所以点$B$的坐标为$(0, -4)$，$OB$的长度为$4$。
当$y = 0$时，$\frac{4}{3}x - 4 = 0$，解得$x = 3$，所以点$A$的坐标为$(3, 0)$，$OA$的长度为$3$。
根据三角形面积的计算公式，$\triangle AOB$的面积为：
$S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} × OA × OB = \frac{1}{2} × 3 × 4 = 6$
故答案为：$6$。

9 [2025 常州溧阳期末]将一次函数 $ y = -\frac{1}{2}x $ 的图象向下平移得到直线 $ AB $,若直线 $ AB $ 经过点 $ (m,n) $,且 $ m + 2n + 6 = 0 $,则直线 $ AB $ 所对应的函数表达式为$y = -\frac{1}{2}x - 3$.

答案： 【解析】：
本题主要考查一次函数图象的平移变换以及函数表达式求解。
首先，设直线$AB$的解析式为$y = kx + b$。
由于直线$AB$是由一次函数$y = -\frac{1}{2}x$的图象向下平移得到的，根据平移性质，斜率$k$应保持不变，即$k = -\frac{1}{2}$。
因此，直线$AB$的解析式可以表示为$y = -\frac{1}{2}x + b$。
接下来，利用直线$AB$经过点$(m,n)$，且满足$m + 2n + 6 = 0$这一条件。
将点$(m,n)$代入直线$AB$的解析式，得到：
$n = -\frac{1}{2}m + b$，
整理这个方程，得到：
$m + 2n = 2b$，
又因为$m + 2n + 6 = 0$，所以：
$2b + 6 = 0$，
解这个方程，得到：
$b = -3$，
因此，直线$AB$的解析式为$y = -\frac{1}{2}x - 3$。
【答案】：
$y = -\frac{1}{2}x - 3$。

10 如图,直线 $ l:y = kx + b $ 经过点 $ (-1,2) $ 与 $ (0,4) $.
(1)求一次函数的表达式;
(2)若直线 $ l $ 与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别交于 $ A,B $ 两点,点 $ P $ 在 $ y $ 轴上,且 $ OP = 2OB $,求 $ \triangle ABP $ 的面积.
]

答案：
(1)解：将点$(-1,2)$与$(0,4)$代入$y = kx + b$，得
$\begin{cases}-k + b = 2 \\ b = 4\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = 2 \\ b = 4\end{cases}$
$\therefore$一次函数表达式为$y = 2x + 4$
(2)解：在$y = 2x + 4$中，令$y = 0$，则$2x + 4 = 0$，解得$x=-2$，$\therefore A(-2,0)$
令$x = 0$，则$y = 4$，$\therefore B(0,4)$，$\therefore OB = 4$
$\because OP = 2OB$，$\therefore OP = 8$
$\because$点$P$在$y$轴上，$\therefore P(0,8)$或$P(0,-8)$
当$P(0,8)$时，$BP = 8 - 4 = 4$
$S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}× BP×|x_A|=\frac{1}{2}×4×2 = 4$
当$P(0,-8)$时，$BP = 4 - (-8) = 12$
$S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}× BP×|x_A|=\frac{1}{2}×12×2 = 12$
综上，$\triangle ABP$的面积为$4$或$12$