《2025年一遍过八年级数学上册苏科版》

1 [2025扬州邗江区期中]以下列数组为边长,能构成直角三角形的是 (C)
A.0.2,0.3,0.5
B.1,1,$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{2}$,$\sqrt{3}$,$\sqrt{5}$
D.$\frac{1}{3}$,$\frac{1}{4}$,$\frac{1}{5}$

答案： C
∵(0.2)²+(0.3)²=0.13,(0.5)²=0.25,
∴(0.2)²+(0.3)²≠(0.5)²,选项A不正确;
∵1²+1²=2,($\sqrt{3}$)²=3,
∴1²+1²≠($\sqrt{3}$)²,选项B不正确;
∵($\sqrt{2}$)²+($\sqrt{3}$)²=5,($\sqrt{5}$)²=5,
∴($\sqrt{2}$)²+($\sqrt{3}$)²=($\sqrt{5}$)²,选项C正确;
∵($\frac{1}{4}$)²+($\frac{1}{5}$)²=$\frac{369}{3600}$,($\frac{1}{3}$)²=$\frac{400}{3600}$,
∴($\frac{1}{4}$)²+($\frac{1}{5}$)²≠($\frac{1}{3}$)²,选项D不正确.

在$\triangle ABC$中,$\angle A,\angle B,\angle C的对边分别是a,b,c$,给出下列条件:①$(a+b)^{2}-c^{2}= 2ab$;②$(a+b)(a - b)= c^{2}$;③$a= 3^{2},b= 4^{2},c= 5^{2}$.其中可以判定$\triangle ABC$是直角三角形的是①②. (填序号)

答案： ①② ①
∵(a+b)²-c²=2ab,
∴a²+2ab+b²-c²=2ab,
∴a²+b²=c²,
∴△ABC是直角三角形.②
∵(a+b)(a - b)= c²,
∴a²-b²=c²,即a²=c²+b²,
∴△ABC是直角三角形.③
∵a= 3²=9,b= 4²=16,c= 5²=25,
∴a²=9²=81,b²=16²=256,c²=25²=625,
∵81+256≠625,
∴a²+b²≠c²,
∴△ABC不是直角三角形.

在$\triangle ABC$中,$AC= 5$,$BC= 12$,$AB= 13$,则$AB$边上的高为$\frac{60}{13}$.

答案： $\frac{60}{13}$
∵AB²=13²=169,BC²+AC²=12²+5²=169,
∴AB²=BC²+AC²,
∴△ABC是直角三角形,
∴∠C=90°.设AB边上的高为h.
∵S△ABC=$\frac{1}{2}$AB·h=$\frac{1}{2}$AC·BC,
∴h=$\frac{AC·BC}{AB}$=$\frac{5×12}{13}$=$\frac{60}{13}$.

4 教材习题变式[2024盐城东台期中]如图,在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿$CD$,早晨测得它的影长$BD$为4米,中午测得它的影长$AD$为1米,则$A,B,C$三点能构成直角三角形. (请填“能”或“不能”)

答案： 能
∵BC²=BD²+CD²=20,AC²=AD²+CD²=5,AB²=25,
∴BC²+AC²=AB²,
∴A,B,C三点能构成直角三角形.

5 [2025盐城东台期中]如图,已知等腰三角形$ABC的底边BC= 5$,$D是腰AB$上一点,且$CD= 4$,$BD= 3$,则$AD$的长为$\frac{7}{6}$.

答案： $\frac{7}{6}$ 设AD=x,则AB=AD+BD=x+3.
∵AB=AC,
∴AC=x+3.
∵BC=5,CD=4,BD=3,
∴BD²+CD²=3²+4²=25,BC²=5²=25,
∴BD²+CD²=BC²,
∴∠BDC=90°,
∴∠ADC=90°.在Rt△ADC中,由勾股定理,得AC²=AD²+CD²,
∴(x+3)²=x²+4²,解得x=$\frac{7}{6}$,即AD=$\frac{7}{6}$.

6 [2025无锡锡山区期中]如图,在四边形$ABCD$中,$AB= BC= 2$,$CD= 3$,$DA= 1$,且$\angle B= 90^{\circ}$,求$\angle DAB$的度数.
]

答案： 【解析】：
本题主要考查了勾股定理的逆定理以及等腰直角三角形的性质和勾股定理的应用。
先连接$AC$，由于$\angle B=90^\circ$，$AB=BC=2$，利用勾股定理求出$AC$的长度，再通过$AC$的长度和$AD$、$CD$的长度关系，判断$\triangle ACD$是否为直角三角形，进而求出$\angle DAB$的度数，其中涉及勾股定理逆定理（若三角形三边满足$a^2 + b^2 = c^2$，则这个三角形是直角三角形）和勾股定理（直角三角形两直角边平方和等于斜边平方）的应用。
【答案】：
解：连接$AC$。
∵$\angle B=90^\circ$，$AB=BC=2$，
∴根据勾股定理，在$Rt\triangle ABC$中，$AC^2=AB^2 + BC^2=2^2 + 2^2 = 8$，
所以$AC=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，且$\angle BAC=\angle BCA = 45^\circ$。
∵$AD=1$，$CD=3$，
∴$AD^2+AC^2=1^2+(2\sqrt{2})^2=1 + 8 = 9$，
又
∵$CD^2=3^2 = 9$，
∴$AD^2+AC^2=CD^2$，
根据勾股定理的逆定理可知，$\triangle ACD$是直角三角形，且$\angle CAD=90^\circ$。
∴$\angle DAB=\angle BAC+\angle CAD=45^\circ + 90^\circ=135^\circ$。
综上，$\angle DAB$的度数为$135^\circ$。

7 [2024连云港赣榆区期中]如图,在$\triangle ABC$中,$D是BC$的中点,过点$D作DE\perp BC$,垂足为$D$,交$AB于点E$,且$BE^{2}-EA^{2}= AC^{2}$.
(1)求证:$\angle A= 90^{\circ}$;
(2)若$AB= 8$,$BC= 10$,求$AE$的长.
]

答案：
(1)证明:如图,连接CE.
∵D是BC的中点,DE⊥BC,
∴CE=BE.
∵BE²-EA²=AC²,
∴CE²-EA²=AC²,
∴EA²+AC²=CE²,
∴△ACE是直角三角形,且∠A=90°.
(2)解:
∵AB=8,BC=10,∠A=90°,
∴AC²=10²-8²=6²,
∴AC=6.设AE=x,则CE=BE=8-x.在Rt△AEC中,6²+x²=(8-x)²,解得x=$\frac{7}{4}$,
∴AE的长为$\frac{7}{4}$.

8 [2025常州北郊中学期中]下列各组数中,是勾股数的一组是 (D)
A.0.3,0.4,0.5
B.$\frac{1}{3}$,$\frac{1}{4}$,$\frac{1}{5}$
C.$3^{2}$,$4^{2}$,$5^{2}$
D.8,15,17

答案： D 0.3,0.4,0.5与$\frac{1}{3}$,$\frac{1}{4}$,$\frac{1}{5}$不是正整数,故选项A,B都不是勾股数;
∵(3²)²+(4²)²≠(5²)²,故选项C不是勾股数;
∵8²+15²=289,17²=289,
∴8²+15²=17².又
∵8,15,17都是正整数,故选项D是勾股数.

9 新趋势·结论开放[2024宿迁泗洪期中]请你任意写出一组勾股数:12,16,20.

答案： 12,16,20(答案不唯一)
∵12²+16²=20²,且12,16,20都是正整数,
∴一组勾股数可以是12,16,20.