《2025年一遍过八年级数学上册苏科版》

1 一题多解 如图,$AB = AC$,$BD = CD$,$DE⊥AB交AB的延长线于点E$,$DF⊥AC交AC的延长线于点F$。求证：$DE = DF$。

答案： 证明:通解 连接 AD.
在△ABD 和△ACD 中,$\left\{\begin{array}{l} AB=AC,\\ BD=CD,\\ AD=AD,\end{array}\right. $
$\therefore △ABD\cong △ACD(SSS),$
$\therefore ∠ABD=∠ACD,\therefore ∠DBE=∠DCF.$
又$\because ∠DEB=∠DFC=90^{\circ },DB=DC,$
$\therefore △DEB\cong △DFC(AAS),\therefore DE=DF.$
另解 同上可证$△ABD\cong △ACD,$
$\therefore ∠BAD=∠CAD.$
又$\because ∠E=∠F=90^{\circ },AD=AD,$
$\therefore △ADE\cong △ADF(AAS),\therefore DE=DF.$

2 如图,$AB = AE$,$AB⊥AE$,垂足为$A$,$AD = AC$,$AD⊥AC$,垂足为$A$,$M为BC$的中点。求证：$DE = 2AM$。

答案：
证明:如图,延长 AM 至点 N,使$MN=AM$,连接 BN.
因为 M 为 BC 的中点,所以$BM=CM.$
在$△AMC$和$△NMB$中,
$\left\{\begin{array}{l} AM=NM,\\ ∠AMC=∠NMB,\\ CM=BM,\end{array}\right. $
所以$△AMC\cong △NMB(SAS),$
所以$AC=NB,∠C=∠NBM,$
所以$∠ABN=∠ABC+∠NBM=∠ABC+∠C=180^{\circ }-∠BAC.$
因为$∠EAD=360^{\circ }-90^{\circ }-90^{\circ }-∠BAC=180^{\circ }-∠BAC,$
所以$∠ABN=∠EAD.$
因为$AD=AC$,所以$AD=BN.$
在$△ABN$和$△EAD$中,$\left\{\begin{array}{l} BN=AD,\\ ∠ABN=∠EAD,\\ AB=EA,\end{array}\right. $
所以$△ABN\cong △EAD(SAS)$,所以$NA=DE,$
所以$DE=2AM.$

3 一题多解 如图,在$\triangle ABC$中,$AB ＞ AC$,$\angle1= \angle2$,$P为AD$上任意一点。试说明：$AB - AC ＞ PB - PC$。

答案：
解:通解(截长法) 如图,在 AB 上取一点 E,使$AE=AC$,连接 PE.
在$△AEP$和$△ACP$中,$\left\{\begin{array}{l} AE=AC,\\ ∠1=∠2,\\ AP=AP,\end{array}\right. $
所以$△AEP\cong △ACP(SAS)$,所以$PE=PC.$
因为$AE=AC$,所以$BE=AB-AE=AB-AC.$
在$△PBE$中,根据三角形的三边关系,得$BE＞PB-PE,$
所以$AB-AC＞PB-PC.$
另解(补短法) 如图,延长 AC 至点 M,使$AM=AB$,连接 PM.
在$△ABP$和$△AMP$中,$\left\{\begin{array}{l} AB=AM,\\ ∠1=∠2,\\ AP=AP,\end{array}\right. $
所以$△ABP\cong △AMP(SAS)$,所以$PB=PM.$
在$△PCM$中,根据三角形的三边关系,得$CM＞PM-PC,$
所以$AM-AC＞PB-PC,$
所以$AB-AC＞PB-PC.$
归纳总结
探索一条线段等于两条线段的和,经常用到"截长法"和"补短法"."截长法"即把结论中最长的线段根据已知条件分成两段,使其中一段与较短线段相等,然后说明余下的线段与另一条线段相等."补短法"即把两条线段接长成为一条长线段,然后说明接成的线段与最长线段相等,或是把一条较短的线段加长,使它等于最长的线段,然后说明加长的那部分与另一较短的线段相等.

4 如图,在四边形$ACBE$中,$AC = BC$,$\angle ACB= \angle AEB = 90^{\circ}$,$CE交AB于点M$。求证：$EC平分\angle AEB$。

答案：
证明:如图,过点 C 作$CG⊥EB$于点 G,$CF⊥EA$交 EA 的延长线于点 F,则$∠CGB=∠CGE=∠F=90^{\circ }.$
$\because ∠ACB=∠AEB=90^{\circ },$
$\therefore ∠FCG=360^{\circ }-∠CGE-∠AEB-∠F=90^{\circ },$
$\therefore ∠ACF=∠BCG=90^{\circ }-∠ACG.$
在$△ACF$和$△BCG$中,$\left\{\begin{array}{l} ∠F=∠CGB,\\ ∠ACF=∠BCG,\\ AC=BC,\end{array}\right. $
$\therefore △ACF\cong △BCG(AAS),\therefore CF=CG.$
又$\because EC=EC,\therefore Rt△EFC\cong Rt△EGC(HL),$
$\therefore ∠CEF=∠CEG,\therefore EC$平分$∠AEB.$