《2025年一遍过八年级数学上册苏科版》

1 [2025宿迁宿城区期末]如图,在四边形ABCD中,$∠B= ∠C$,$AB= 20cm$,$BC= 15cm$,E为AB的中点,点P在线段BC上以5cm/s的速度由点B向点C运动,同时点Q在线段CD上由点C向点D运动.若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为$\frac{20}{3}$cm/s时,能够使$\triangle BPE与\triangle CQP$全等.

答案： $\frac{20}{3}$ 设点Q的运动时间为t s,运动速度为x cm/s,则CQ=xt cm,BP=5t cm,CP=(15-5t)cm.
∵E为AB的中点,
∴BE=10 cm.
∵∠B=∠C,
∴当BE=CP,BP=CQ时,△BEP≌△CPQ(SAS),即10=15-5t,5t=xt,解得t=1,x=5(舍去);当BE=CQ,BP=CP时,△BEP≌△CQP(SAS),即10=xt,5t=15-5t,解得t=$\frac{3}{2}$,x=$\frac{20}{3}$.综上所述,当点Q的运动速度为$\frac{20}{3}$cm/s时,能够使△BPE与△CQP全等.

2 [2025常州北郊中学期中]如图,在$\triangle ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ }$,$AC= 8cm$,$BC= 14cm$,点P从A点出发沿$A→C→B$路径向终点运动,终点为B点,点Q从B点出发沿$B→C→A$路径向终点运动,终点为A点,点P,Q分别以2cm/s和3cm/s的运动速度同时开始运动,两点都要到达相应的终点时才能停止运动,分别过点P,Q作$PE⊥l$于点E,$QF⊥l$于点F.设运动时间为ts,要使以点P,E,C为顶点的三角形与以点Q,F,C为顶点的三角形全等,则t的值为______.

答案： $\frac{22}{5}$或6或8
∵PE⊥l于点E,QF⊥l于点F,
∴∠PEC=∠CFQ=90°,
∴∠QCF+∠CQF=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠PCE+∠QCF=90°,
∴∠PCE=∠CQF.①当0≤t＜4时,点P在AC上,点Q在BC上,如图1,此时AP=2t cm,BQ=3t cm,AC=8 cm,BC=14 cm,当PC=CQ,即8-2t=14-3t时,解得t=6,不合题意,舍去;②当4≤t＜$\frac{14}{3}$时,点P在BC上,点Q也在BC上,如图2,若PC=QC,则点P与点Q重合,即2t-8=14-3t,解得t=$\frac{22}{5}$;③当$\frac{14}{3}$≤t＜$\frac{22}{3}$时,点P在BC上,点Q在AC上,如图3,当PC=CQ,即2t-8=3t-14时,解得t=6;④当$\frac{22}{3}$≤t＜11时,点Q停在点A处,点P在BC上,如图4,当PC=CQ,即2t-8=8时,解得t=8.综上所述,当t的值为$\frac{22}{5}$或6或8时,以点P,E,C为顶点的三角形与以点Q,F,C为顶点的三角形全等.

3 在$\triangle ABC和\triangle DEF$中,$AC= DF$,$BC= EF$,$∠B= ∠E$,对$∠B$进行分类,可分为“$∠B$是直角、钝角、锐角”三种情况,并进行“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的探究.
第一种情况:当$∠B$是直角时,$\triangle ABC\cong \triangle DEF$.
(1)在$\triangle ABC和\triangle DEF$中,$AC= DF$,$BC= EF$,$∠B= ∠E= 90^{\circ }$,根据______,可得$Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle DEF$.
第二种情况:当$∠B$是钝角时,$\triangle ABC\cong \triangle DEF$.
(2)在$\triangle ABC和\triangle DEF$中,$AC= DF$,$BC= EF$,$∠B= ∠E$,且$∠B$,$∠E$都是钝角.求证:$\triangle ABC\cong \triangle DEF$.
第三种情况:当$∠B$是锐角时,$\triangle ABC和\triangle DEF$不一定全等.
(3)在$\triangle ABC和\triangle DEF$中,$AC= DF$,$BC= EF$,$∠B= ∠E$,且$∠B$,$∠E$都是锐角.请你用尺规在$\triangle ABC$(如图)中作出$\triangle DEF$,使$\triangle DEF和\triangle ABC$不全等.(不写作法,保留作图痕迹)
(4)对于(3),若$∠B$满足条件______,就可以使$\triangle ABC\cong \triangle DEF$.

答案：

(1)解:"HL"
(2)证明:如图,分别过点C,F作边AB,DE上的高CG,FH,其中G,H为垂足.
　　　　　　　
∵∠ABC,∠DEF都是钝角,
∴点G,H分别在AB,DE的延长线上.
∵CG⊥AG,FH⊥DH,
∴∠CGA=∠FHD=90°.
∵∠CBG=180°-∠ABC,∠FEH=180°-∠DEF,∠ABC=∠DEF,
∴∠CBG=∠FEH.在△BCG和△EFH中,$\left\{\begin{array}{l} ∠CGB=∠FHE,\\ ∠CBG=∠FEH,\\ BC=EF,\end{array}\right. $
∴△BCG≌△EFH(AAS),
∴CG=FH.又
∵AC=DF,
∴Rt△ACG≌Rt△DFH(HL),
∴∠A=∠D.在△ABC和△DEF中,$\left\{\begin{array}{l} ∠ABC=∠DEF,\\ ∠A=∠D,\\ AC=DF,\end{array}\right. $
∴△ABC≌△DEF(AAS).
(3)解:如图,△DEF就是所求作的三角形,△DEF和△ABC不全等.
　　　　　　　　　　　
(4)解:∠B≥∠A(答案不唯一)由
(3)知以点C为圆心,AC长为半径画弧时,当弧与边AB交于点A,B之间时,△DEF和△ABC不全等,当弧与边AB交于点B或没有交点时,△ABC≌△DEF.故当AC≥BC,即∠B≥∠A时,△ABC≌△DEF,故答案为∠B≥∠A.