《2025年一遍过八年级数学上册苏科版》

10 一题多解 [2024宿迁宿城区期末]如图,$∠AOB = 120^{\circ}$,$OP平分∠AOB$,且$OP = 2$。若点$M$,$N分别在OA$,$OB$上,且$\triangle PMN$为等边三角形,则满足上述条件的$\triangle PMN$有(D)

A.2个
B.3个
C.4个
D.无数个

答案： D

11 新考法 [2025镇江期中]小明准备用一张长方形A4纸片,通过折叠两次的方式找到一些折痕和点,然后用直尺连线画出一个等边三角形。下面哪个图应该是他的第一次折痕？(A)

答案： A

12 [2025扬州树人学校期中]如图,在等边三角形$ABC$中,点$E在线段AB$的延长线上,点$D在直线BC$上,且$ED = EC$。若$\triangle ABC$的边长为1,$AE = 3$,则$CD = $4。

答案： 4

13 [2025苏州临湖实验中学月考]如图,$\triangle ABC$是等腰三角形,$AB = AC$,$∠BAC = 120^{\circ}$,$AD\perp BC于点D$,$P是BA$延长线上一点,$O是线段AD$上一点,$OP = OC$。给出下列结论：①$∠APO + ∠DCO = 30^{\circ}$；②$∠APO = ∠DCO$；③$\triangle OPC$是等边三角形；④$AB = AO + AP$。其中正确结论的序号是______①③④。

答案： ①③④

14 [2024南通启东期中]如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$∠BAC = 120^{\circ}$,$AD\perp BC$,垂足为$G$,且$AD = AB$,$∠EDF = 60^{\circ}$,其两边分别交边$AB$,$AC于点E$,$F$。
(1)求证：$\triangle ABD$是等边三角形。
(2)求证：$BE = AF$。

答案：
(1)证明：
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC=$\frac {1}{2}\angle BAC$.
∵∠BAC=120°，
∴∠BAD=∠DAC=$\frac {1}{2}×120^{\circ }=60^{\circ }$.又
∵AD=AB，
∴△ABD是等边三角形.
(2)证明：
∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=∠ADB=60°，BD=AD.
∵∠EDF=60°，
∴∠BDA=∠EDF，
∴∠BDE=∠ADF.在△BDE和△ADF中，$\left\{\begin{array}{l} \angle DBE=\angle DAF,\\ BD=AD,\\ \angle BDE=\angle ADF,\end{array}\right. $
∴△BDE≌△ADF，
∴BE=AF.

15 [2025苏州盛泽初中教育集团月考]如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$∠ACB ＞ 60^{\circ}$,在$AC边上取点D$,使$BD = BC$。以$AD为一边作等边三角形ADE$,且使点$E与点B位于直线AC$的同侧。
(1)若点$D与点E关于直线AB$轴对称,求$∠BDE$的度数；
(2)若$∠ACB = 80^{\circ}$,写出线段$AB$,$BD$,$BE$之间的数量关系,并说明理由。

答案：

(1)
∵△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=∠EAD=60°.
∵点D与点E关于直线AB轴对称，
∴∠EAB=∠DAB=$\frac {1}{2}\angle EAD=30^{\circ }$.
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=$\frac {1}{2}(180^{\circ }-\angle BAC)=75^{\circ }$.
∵BD=BC，
∴∠BDC=∠C=75°，
∴∠ADB=180°-∠BDC=105°，
∴∠BDE=∠ADB-∠ADE=45°.
(2)AB=BD+BE.理由如下：如图，在AB上取点F，使BF=BD，连接DF.
∵∠ACB=80°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=80°.
∵BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD=80°，
∴∠CBD=20°，
∴∠DBF=60°，
∴△BDF是等边三角形，
∴∠BDF=60°，BD=DF.
∵△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=60°，DE=DA，
∴∠BDE=∠ADF，
∴△BDE≌△FDA(SAS)，
∴BE=AF.
∵AB=BF+AF，
∴AB=BD+BE.