《2025年一遍过八年级数学上册苏科版》

1下列三角形中,等腰三角形的个数是(C)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： C

2甲、乙两人在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形"这一结论时,画出图形,写出“已知”“求证”(如图所示).
他们对各自所作的辅助线描述如下,甲:过点A作BC的中线AD,交BC于点D.乙:作$△ABC$的角平分线AD.下列判断正确的是(D)


A.甲、乙都正确
B.甲、乙都不正确
C.甲正确,乙不正确
D.甲不正确,乙正确

答案： D 甲所作的辅助线不能判定两个三角形全等,故甲的作法不正确.乙作辅助线的方法正确,证明如下:作△ABC的角平分线AD,则∠BAD=∠CAD.在△ABD和△ACD中,∠B=∠C,∠BAD=∠CAD,AD=AD,
∴△ABD≌△ACD(AAS),
∴AB=AC.

在$△ABC$中,$∠A= 70^{\circ }$,当$∠B= $70°,55°或40°时,$△ABC$是等腰三角形.

答案： 70°,55°或40°
∵∠A=70°,
∴①当∠B=70°时,△ABC是等腰三角形;②当∠B=(180°-70°)÷2=55°时,△ABC是等腰三角形;③当∠B=180°-70°×2=40°时,△ABC是等腰三角形.

4如图,AD为$△ABC$的角平分线,$DE// AB$交AC于点E.若$AE= 5cm$,则$DE= $5cm.

答案： 5
∵AD为△ABC的角平分线,
∴∠BAD=∠EAD.
∵DE//AB,
∴∠BAD=∠ADE,
∴∠ADE=∠EAD,
∴DE=AE=5 cm.

5[2024宿迁泗阳期中]如图,在$△ABC$中,点E在AB上,点D在BC上,$BD= BE,∠BAD= ∠BCE$,AD与CE相交于点F.
求证:(1)$BA= BC;$
(2)$△AFC$为等腰三角形.

答案： 证明:
(1)在△ABD和△CBE中,∠BAD=∠BCE,∠B=∠B,BD=BE,
∴△ABD≌△CBE,
∴BA=BC.
(2)由
(1)知BA=BC,
∴∠BAC=∠BCA.又
∵∠BAD=∠BCE,
∴∠FAC=∠FCA,
∴FA=FC,
∴△AFC为等腰三角形.

6如图,在$△ABC$中,$AB= AC,AD⊥BC$于点D.
(1)若$∠B= 36^{\circ }$,求$∠CAD$的度数;
(2)若点E在边AC上,$EF// AB$交AD的延长

线于点F,求证:$△AEF$是等腰三角形.

答案：
(1)解:
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠C=∠B=36°,∠ADC=90°,
∴∠CAD=90°-∠C=54°.
(2)证明:
∵EF//AB,
∴∠BAF=∠F.
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴AD是∠BAC的平分线,
∴∠DAB=∠DAC,
∴∠F=∠DAC,即∠F=∠EAF,
∴EA=EF,
∴△AEF是等腰三角形.

7【知识回顾】我们已学习了五种用尺规完成的基本作图:①作一条线段等于已知线段;②作一个角等于已知角;③作一个角的平分线;④过一点作已知直线的垂线;⑤作一条线段的垂直平分线.
【图形呈现】
有一个内角为$36^{\circ }$的等腰三角形叫黄金三角形.我们将底角为$36^{\circ }$的等腰三角形称为“黄金1号”；顶角为$36^{\circ }$的等腰三角形称为“黄金2号”.这两种黄金三角形,你中有我,我中有你.

【实践操作】我们可运用尺规作图将一个大的黄金三角形分割成两个小的黄金三角形.
(1)小乐同学选择尺规基本作图①,如图1,在黄金1号$△ABC$的BC边上截取$BM= AB$,连接AM后,得到$△ABM和△ACM$.小乐认为这两个三角形都是黄金三角形,小乐的说法对吗?请判断并证明你的结论.
(2)请你从尺规基本作图②③④⑤中选择一种,在图2的黄金2号$△DEF$的DF边上找一点G,连接EG,将$△DEF$分割成两个小的黄金三角形.(要求:不写作法,保留作图痕迹,标注字母)

答案：
解:
(1)小乐的说法正确.证明如下:
∵∠ABC=∠ACB=36°,
∴∠BAC=180°-2×36°=108°.由作图知AB=MB,
∴∠BAM=∠BMA=$\frac{1}{2}$×(180°-36°)=72°,
∴△ABM为黄金三角形.
∵∠MAC=∠BAC-∠BAM=36°=∠C,
∴AM=CM,
∴△ACM为黄金三角形.
(2)利用②作∠GEF=∠D,如图1所示.
∵∠D=36°,DE=DF,
∴∠DEF=∠F=$\frac{1}{2}$×(180°-36°)=72°.

由作图知∠GEF=∠D=36°,
∴∠DEG=∠DEF-∠GEF=36°,
∴DG=EG.∠EGF=∠DEG+∠D=72°=∠F,
∴EG=EF,
∴△DEG,△EFG均为黄金三角形.利用③作∠DEF的平分线,如图2所示.由作图知∠DEG=∠GEF=$\frac{1}{2}$∠DEF=36°,
∴∠DEG=∠D,∠EGF=180°-∠GEF-∠F=72°=∠F,
∴DG=EG,EG=EF,
∴△DEG,△EFG均为黄金三角形.