《2025年一遍过八年级数学上册苏科版》

8[2024无锡梁溪区期末]如果直角三角形的两条边长分别为2和3,那么它的第三条边长为 (√5或√13)
A.4
B.√5
C.√13
D.√5或√13

答案： 当3为斜边长时，由勾股定理，得第三条边长为√(3²-2²)=√5；当3为直角边长时，由勾股定理，得第三条边长为√(3²+2²)=√13.综上所述，第三条边长为√5或√13.
解题通法
运用勾股定理求直角三角形的边长的方法
运用勾股定理时，要先根据直角三角形中的直角确定所求边是直角边还是斜边，再借助勾股定理求解.若题目中既没有明确直角也没有明确斜边或直角边，则要分类讨论，必要时需画出草图.

9[2024无锡宜兴月考]如图,在△ABC中,AB= 6,AC= 9,AD⊥BC于点D,M为AD上任意一点,则$MC^2-MB^2$等于 (45)
A.29
B.32
C.36
D.45

答案：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△BDM和Rt△CDM中，MB²=BD²+MD²，MC²=CD²+MD².
∴MC² - MB²=(CD²+MD²)-(BD²+MD²)=CD² - BD².在Rt△ABD和Rt△ADC中，AB²=BD²+AD²，AC²=CD²+AD².
∴AC² - AB²=(CD²+AD²)-(BD²+AD²)=CD² - BD²，
∴MC² - MB²=AC² - AB²=9² - 6²=81 - 36=45.

10[2025常州武进区期中]如图,在Rt△ABC中,分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形,面积分别记为$S_1,S_2,S_3.$若$S_3+S_2-S_1= 18,$则图中阴影部分的面积为______.

4.5

答案： 4.5 在Rt△ABC中，
∵∠BAC=90°，
∴AC²+AB²=BC²，
∴S₁+S₂=S₃.又
∵S₃+S₂ - S₁=18，
∴S₂=9，
∴阴影部分的面积=(1/2)S₂=(1/2)×9=4.5.

11一题多解[2024无锡宜兴月考]如图,在△ABC中,∠C= 90°,AD平分∠BAC,AB= 10,AC= 6,则CD= ______.

答案：
3 通解 如图，过点D作DE⊥AB于点E.在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC=√(AB²-AC²)=√(10²-6²)=8.
∵AD平分∠BAC，AC⊥DC，DE⊥AB，
∴CD=DE.
∵S△ABC=S△ACD+S△ABD，
∴(1/2)AC·CD+(1/2)AB·DE=(1/2)AC·BC，
∴(1/2)×6CD+(1/2)×10CD=(1/2)×6×8，解得CD=3.
另解 如图，过点D作DE⊥AB于点E，则∠AED=∠DEB=∠C=90°.在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC=√(AB²-AC²)=√(10²-6²)=8.
∵AD平分∠BAC，AC⊥DC，DE⊥AB，
∴CD=DE.在Rt△ADC和Rt△ADE中，{AD = AD, CD = ED}，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE(HL)，
∴AE=AC=6.设CD=DE=x，则BD=BC - CD=8 - x，BE=AB - AE=10 - 6=4.
∵∠DEB=90°，
∴DE²+BE²=BD²，
∴x²+4²=(8 - x)²，解得x=3，即CD=3.

12[2024常州期中]如图,有一个面积为1的正方形,经过1次“生长”,它上边的两个顶点生出了两个小正方形,且三个正方形围成的三角形是直角三角形,再经过1次“生长”,变成了如图所示的图形.若“生长”2024次,则图中所有正方形的面积和为______.

答案：
2025 如图，由题意，得正方形A的面积为1.由勾股定理，得正方形B的面积+正方形C的面积=1，
∴“生长”1次时图中所有正方形的面积和为2，同理可得，“生长”2次时图中所有正方形的面积和为3……
∴“生长”2024次时图中所有正方形的面积和为2025.

13[2025苏州景城学校月考]如图,在四边形ABCD中,∠ABC= ∠ADC= 90°,E是对角线AC的中点,F是对角线BD上的动点,连接EF.若AC= 8,BD= 6,则EF的最小值为______.

答案：
√7 如图，连接EB，ED，过点E作EF⊥BD于点F，此时EF的值最小.
∵在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E是对角线AC的中点，
∴EB，ED分别是Rt△ABC和Rt△ADC的斜边上的中线，
∴EB=ED=(1/2)AC=(1/2)×8=4.又
∵EF⊥BD，
∴DF=BF=(1/2)BD=(1/2)×6=3，∠DFE=90°，
∴EF=√(DE² - DF²)=√(4² - 3²)=√7.

14推理能力[2024南京求真中学期中]如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,AB= 13,AD= 12,CD= 9,点P从点C出发,以每秒2个单位长度的速度沿着CD-DA运动,设点P运动的时间为t秒.
(1)当t的值为______时,AP平分△ABC的面积;
(2)求当t为何值时,△PAB为轴对称图形;
(3)若点E,F分别为AD,AB上的动点,则BE+EF的最小值为______.

答案：
解：
(1)7/2
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°.
∵AD=12，AB=13，
∴BD²=AB² - AD²=25，
∴BD=5，
∴BC=DC+BD=14.
∵AP平分△ABC的面积，
∴点P为BC的中点，
∴CP=(1/2)BC=7，
∴t=7/2.
(2)由△PAB为轴对称图形，得△PAB是等腰三角形.
如图1，当BP=AB=13时，PC=BC - BP=14 - 13=1，
∴t=1/2.

如图2，当AP=AB=13时，点P只能在线段CD上.
∵AD⊥BC，
∴PD=BD=5，
∴BP=10，
∴PC=BC - BP=4，
∴t=4/2=2.

如图3，当BP=AP，且点P在线段CD上时，设DP=a，则AP=BP=5 + a.在Rt△ADP中，由勾股定理，得AP²=AD²+DP²，
∴(5 + a)²=12²+a²，解得a=119/10＞9，即DP＞DC，故此情况不成立.
如图4，当BP=AP，且点P在线段AD上时，过点P作PM⊥AB于点M.设PD=m，则BP=AP=12 - m.在Rt△BDP中，由勾股定理，得BP²=BD²+DP²，
∴(12 - m)²=5²+m²，解得m=119/24，
∴PD+CD=119/24+9=335/24，
∴t=335/48.
综上所述，当t的值为1/2或2或335/48时，△PAB为轴对称图形.



(3)120/13
如图5，在DC上取点G，使DG=BD，连接AG，过点G作GF⊥AB于点F，交AD于点E，此时BE+EF=GE+EF=GF，为最小值.由
(2)知BG=10.
∵S△ABG=(1/2)BG·AD=(1/2)AB·GF，
∴GF=(BG·AD)/AB=(10×12)/13=120/13，
∴BE+EF的最小值为120/13.