《2025年一遍过八年级数学上册苏科版》

1 如图,∠ABC,∠ACB的平分线相交于点O.
(1)当∠A= 50°时,求∠BOC的度数.
(2)当∠A= 90°时,求∠BOC的度数.
(3)当∠A= 120°时,求∠BOC的度数.
(4)从中你能发现∠BOC与∠A的数量关系吗？请直接写出.

答案： 1 解:因为∠ABC,∠ACB的平分线相交于点O,所以∠OBC= $\frac{1}{2}$∠ABC,∠OCB= $\frac{1}{2}$∠ACB.在△OBC中,∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°- $\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB).
(1)当∠A=50°时,∠ABC+∠ACB=130°,所以∠BOC=180°- $\frac{1}{2}$×130°=115°.
(2)当∠A=90°时,∠BOC=135°.
(3)当∠A=120°时,∠BOC=150°.
(4)能,∠BOC=90°+ $\frac{1}{2}$∠A.
名师点睛
解决本题的关键是灵活应用角平分线的定义,以及运用三角形内角和为180°来转换角.

2 已知AB⊥AC,D,E分别是射线AC,AB上的动点,∠AED的平分线与∠CDE的平分线所在直线相交于点M.
(1)如图1,已知∠ADE= 50°,求∠M的度数.
(2)如图2,当点D,E在射线AC,AB上运动时,∠M的大小是否发生变化？请说明理由.
(3)根据以上探究,请你指出关于三角形的角平分线的一条性质.

答案：
2 解:
(1)因为AB⊥AC,∠ADE=50°,所以∠CDE=130°,∠AED=40°.因为∠AED的平分线与∠CDE的平分线所在直线相交于点M,所以∠MED= $\frac{1}{2}$∠AED=20°,∠CDF= $\frac{1}{2}$∠CDE=65°,所以∠ADM=∠CDF=65°,所以∠M=180°-∠MED-∠ADM-∠ADE=45°.
(2)不变.理由如下:
如图,由
(1)可知∠AEM= $\frac{1}{2}$∠AED,

∠CDF= $\frac{1}{2}$∠CDE= $\frac{1}{2}$[180°-(180°-∠A-∠AED)]=∠ADM.因为∠A+∠AOE+∠AEM=∠M+∠ADM+∠DOM=180°,∠AOE=∠DOM,
三角形中角平分线的三种类型
所以∠A+ $\frac{1}{2}$∠AED=∠M+ $\frac{1}{2}$[180°-(180°-∠A-∠AED)],所以∠M= $\frac{1}{2}$∠A=45°.
(3)三角形的一个内角的平分线与另一个内角相邻外角的平分线的夹角等于第三个角的度数的一半.

3 已知∠MON,点A,B分别在射线ON,OM上移动(不与点O重合),AD平分∠BAN,BC平分∠ABM,直线AD与BC交于点C.
(1)如图1,若∠MON= 90°,试猜想∠ACB的度数,并直接写出结果.
(2)如图2,若∠MON= α,问：点A,B在射线ON,OM上运动的过程中,∠ACB的度数是否改变？若不改变,求出其值(用含α的式子表示)；若改变,请说明理由.
(3)如图3,若∠MON= α,BC平分∠ABO,其他条件不改变,问：点A,B在射线ON,OM上运动的过程中,∠ACB的度数是否改变？若不改变,求出其值(用含α的式子表示)；若改变,请说明理由.

答案： 3 解:
(1)∠ACB=45°.提示:因为AD平分∠BAN,BC平分∠ABM,所以∠NAD=∠BAD= $\frac{1}{2}$∠BAN,∠ABC=∠MBC= $\frac{1}{2}$∠ABM.因为∠BAO+∠ABO=180°-∠AOB=90°,所以∠CAB+∠CBA= $\frac{1}{2}$(∠BAN+∠ABM)= $\frac{1}{2}$×(360°-90°)=135°,所以∠ACB=180°-135°=45°.
(2)∠ACB的度数不改变.因为AD平分∠BAN,BC平分∠ABM,所以∠NAD=∠BAD= $\frac{1}{2}$∠BAN,∠ABC=∠MBC= $\frac{1}{2}$∠ABM.因为∠BAO+∠ABO=180°-∠AOB=180°-α,所以∠CAB+∠CBA= $\frac{1}{2}$(∠BAN+∠ABM)= $\frac{1}{2}$[360°-(180°-α)]=90°+ $\frac{1}{2}$α.所以∠ACB=180°-(∠CAB+∠CBA)=90°- $\frac{1}{2}$α.
(3)∠ACB的度数不改变.因为AD平分∠BAN,BC平分∠ABO,所以∠NAB=2∠BAD,∠OBA=2∠ABC.又因为∠NAB=180°-(180°-α-∠OBA)=α+∠OBA,所以2∠BAD=α+2∠ABC,所以∠BAD= $\frac{1}{2}$α+∠ABC,所以∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC=180°-(180°-∠BAD)-∠ABC= $\frac{1}{2}$α.