《2025年一遍过八年级数学上册苏科版》

1 如图1,在△ABC中,AC的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,连接CD.

(1)若∠A= 36°,AB= AC,
①求∠DCB的度数；
②求证：△BCD是等腰三角形.
(2)若AB= AC,已知△BCD的周长为8cm,AB-BC= 2cm,则AC= ______cm.
(3)如图2,若CF⊥BD于点F,BF= DF,CD平分∠ACB,求∠A的度数.

(4)如图3,若BG垂直平分CF,AC= CF,∠ACF= 120°,求证：△BCD是等边三角形.

(5)如图4,若BG垂直平分CF,直线DE与直线BG交于点H,连接CH,请说明CH平分∠DCB.

答案：
1
(1)①解:在△ABC中,
∵AB=AC,∠A=36°,
∴∠ABC=∠ACB=1/2(180° - ∠A)=72°.
∵DE是AC的垂直平分线,
∴AD=CD,
∴∠ACD=∠A=36°,
∴∠DCB=∠ACB - ∠ACD=72° - 36°=36°.
②证明:由①知∠ACD=∠A=36°.
∵∠CDB是△ADC的外角,
∴∠CDB=∠ACD + ∠A=72°,
∴∠B=∠CDB,
∴CB=CD,
∴△BCD是等腰三角形.
(2)解:5
解法提示:
∵△BCD的周长为8 cm,
∴BC + BD + CD=8 cm.
∵AD=CD,
∴BC + BD + AD=8 cm,
∴BC + AB=8 cm.
又
∵AB - BC=2 cm,
∴AB=5 cm,BC=3 cm,
∴AC=AB=5 cm.
(3)解:
∵CF⊥BD,BF=DF,DE垂直平分AC,
∴BC=CD=AD,
∴∠A=∠ACD.
∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠BCD,
∴∠BCD=∠A.
∵CD=BC,
∴∠B=∠BDC=∠A + ∠ACD=2∠A.
根据三角形的内角和为180°,得∠B + ∠BDC + ∠BCD=180°,
∴2∠A + 2∠A + ∠A=180°,
∴∠A=36°.
(4)证明:
∵AC=CF,∠ACF=120°,
∴∠A=∠F=30°.
∵DE垂直平分AC,BG垂直平分CF,
∴AD=CD,BC=BF,
∴∠ACD=∠A=30°,∠BCF=∠F=30°,
∴∠CDB=∠CBD=60°,
∴△BCD是等边三角形.
(5)解:如图,连接AH,FH.
∵DE垂直平分AC,
∴AH=CH,AD=CD,
∴∠HAC=∠HCA,∠CAD=∠ACD,
∴∠HAD=∠HCD.
同理可证FH=CH,∠HCB=∠HFB.

∴AH=FH,
∴∠HAF=∠HFB,
∴∠HCB=∠HCD,
∴CH平分∠DCB.

2 如图,在等边三角形ABC的边AC的延长线上取一点E,以CE为边作等边三角形CDE,使点B,D在AE的同侧,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ,OC.
(1)求证：△ACD≌△BCE.
(2)∠AOB的度数为______.
(3)写出图中其他的全等三角形,并选一个说明理由.
(4)△CPQ是什么三角形？请说明理由.
(5)猜想PQ和AE的位置关系,并说明理由.
(6)求证：OC平分∠AOE.
(7)求证：AO= BO+CO.

答案：
2
(1)证明:
∵△ABC,△CDE都是等边三角形,
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE,
∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中,{AC=BC,∠ACD=∠BCE,CD=CE,
∴△ACD≌△BCE.
(2)解:60°
解法提示:
∵△ACD≌△BCE,
∴∠CAD=∠CBE.
又
∵∠APC=∠BPO,
∴∠AOB=∠ACB=60°.
(3)解:△ACP≌△BCQ,△CQE≌△CPD.理由如下:
∵∠ACB=∠DCE=60°,∠ACB + ∠BCQ + ∠DCE=180°,
∴∠BCQ=60°.
在△ACP和△BCQ中,{∠CAP=∠CBQ,AC=BC,∠ACP=∠BCQ=60°,
∴△ACP≌△BCQ(ASA).
∵△ACD≌△BCE,
∴∠ADC=∠BEC,
即∠CDP=∠CEQ.
在△CQE和△CPD中,{∠QCE=∠PCD=60°,CE=CD,∠CEQ=∠CDP,
∴△CQE≌△CPD.
(4)解:△CPQ是等边三角形.理由如下:
∵△ACP≌△BCQ,
∴CP=CQ.
又
∵∠PCQ=60°,
∴△CPQ是等边三角形.
(5)解:PQ//AE.理由如下:
∵△PCQ是等边三角形,
∴∠QPC=60°=∠ACB,
∴PQ//AE.
(6)证明:如图1,过点C作CM⊥BE于点M,CN⊥AD于点N,
则∠CME=∠CND=90°.

∵△ACD≌△BCE,
∴∠ADC=∠BEC,
即∠CDN=∠CEM.
在△CDN和△CEM中,
{∠CND=∠CME,∠CDN=∠CEM,CD=CE,
∴△CDN≌△CEM,
∴CN=CM.
又
∵CN⊥AD,CM⊥BE,
∴OC平分∠AOE.
(7)证明:如图2,在AO上截取OF=OC,连接CF.
由
(1)知∠CAD=∠CBE,由
(6)
知∠AOC=1/2∠AOE=60°,
∴△COF为等边三角形,
∴∠CFO=∠FCO=∠AOC=60°,
∴∠AFC=120°=∠BOC.

又
∵AC=BC,
∴△ACF≌△BCO,
∴AF=BO,
∴AO=AF + FO=BO + CO.