《2025年一遍过八年级数学上册苏科版》

4 一题多解 如图,在$\triangle ABC$中,$∠B= 2∠C$,AD 是$∠BAC$的平分线. 求证:$AC= AB+BD.$

答案：
4 证明:通解 如图1,在AC上截取AE=AB，连接DE.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠EAD.
在△ABD和△AED中,$\left\{\begin{array}{l} AB=AE,\\ ∠BAD=∠EAD,\\ AD=AD,\end{array}\right. $

∴△ABD≌△AED(SAS)，
∴BD=DE，∠B=∠AED.
∵∠AED=∠EDC+∠C，∠B=2∠C，
∴∠EDC=∠C，
∴DE=EC，
∴BD=EC，
∴AC=AE+CE=AB+BD.
另解 如图2,延长CB至点E，使BE=BA，连接AE.
∵BE=BA，
∴∠BAE=∠E.
∵∠ABC=2∠C，∠ABC=∠E+∠BAE=2∠E，
∴∠C=∠E，
∴AC=AE.
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∴∠EAD=∠BAE+∠1=∠E+∠1=∠C+∠2=∠BDA，
∴EA=ED.
又
∵ED=EB+BD，EB=AB，AC=AE，
∴AC=AB+BD.

5 一题多解 如图,在$\triangle ABC$中,$∠ABC= 2∠C$,BD 平分$∠ABC$,交 AC 于点 D,$AE⊥BD$,垂足为 E. 求证:$AC= 2BE.$

答案：
5 证明:通解 如图1,过点A作AF//BC交BD的延长线于点F，则∠F=∠DBC，∠FAD=∠C.
∵∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=∠C，
∴∠F=∠FAD=∠ABD，BD=CD，
∴AD=DF，AB=AF.
又
∵AE⊥BF，
∴BE=EF=$\frac {1}{2}$BF，
∴AC=AD+CD=DF+BD=BF，
∴AC=2BE.

另解 如图2,延长CB至点F，使BF=AB，连接AF，
则∠F=∠FAB，
∴∠ABC=∠F+∠BAF=2∠F=2∠C，
∴∠F=∠C，
∴AC=AF.
过点B作BG⊥AF于点G，则AF=2AG.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE=$\frac {1}{2}$∠ABC.
又
∵∠BAF=$\frac {1}{2}$∠ABC，
∴∠BAG=∠ABE.
∵AE⊥BD，BG⊥AF，
∴∠AEB=∠AGB.
又
∵AB=BA，
∴△BAG≌△ABE，
∴AG=BE，
∴AF=2BE，
∴AC=2BE.

6 如图,已知$∠MAN= 120^{\circ }$,AC 平分$∠MAN,$$∠ABC+∠ADC= 180^{\circ }$. 求证:$AB+AD= AC.$

答案：
6 证明:在AN上截取AE=AC，连接CE，如图.
∵AC平分∠MAN，∠MAN=120°，
∴∠CAB=∠CAD=60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴∠AEC=60°，AC=EC=AE.
又
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，
∴∠ADC=∠EBC.
在△ADC和△EBC中，
∵∠DAC=∠BEC，∠ADC=∠EBC，AC=EC，
∴△ADC≌△EBC(AAS)，
∴AD=BE，
∴AB+AD=AB+BE=AE，
∴AB+AD=AC.