《2025年一遍过八年级数学上册苏科版》

4 [2024张家口宣化区期中]如图1,点A,E,F,C在同一条直线上,$AE= CF,DE⊥AC,BF⊥AC,AB= CD$.
(1)求证:$FG= EG$.
(2)若将$△DEC$的边EC沿AC方向移动,变为图2时,其余条件不变,上述结论是否成立?请说明理由.

答案： 4
(1)证明:
∵DE⊥AC,BF⊥AC,
∴∠DEG=∠BFG=90°.
∵AE=CF,
∴AE+EF=CF+EF,
∴AF=CE.
在Rt△ABF和Rt△CDE中,AB=CD,AF=CE,
∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL),
∴BF=DE.
在△BFG和△DEG中,∠BGF=∠DGE,∠BFG=∠DEG,BF=DE,
∴△BFG≌△DEG(AAS),
∴FG=EG.
(2)解:成立.理由如下:
同
(1),得Rt△ABF≌Rt△CDE(HL),
∴BF=DE.
在△BFG和△DEG中,∠BGF=∠DGE,∠BFG=∠DEG,BF=DE,
∴△BFG≌△DEG(AAS),
∴FG=EG.

5 如图,$∠BAE= ∠CAF= 90^{\circ },EC,BF$相交于点M,$AE= AB,AC= AF$.
(1)试说明:$EC= BF$.
(2)试说明:$EC⊥BF$.
(3)若$∠BAE= ∠CAF= m^{\circ }(m≠90)$,其他条件不变,则(1)(2)中的结论还成立吗?请说明理由.

答案： 5 解:
(1)因为∠BAE=∠CAF=90°,
所以∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC,即∠CAE=∠FAB.
在△CAE和△FAB中,AE=AB,∠CAE=∠FAB,AC=AF,
所以△CAE≌△FAB(SAS),所以EC=BF.
(2)设AC与BF交于点O.
由
(1)知△CAE≌△FAB,所以∠OCM=∠AFO.
又因为∠AOF=∠COM,∠CAF=90°,
所以∠OMC=∠CAF=90°,所以EC⊥BF.
(3)
(1)中的结论成立,
(2)中的结论不成立.理由如下:
因为∠BAE=∠CAF=m°,
所以∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC,即∠CAE=∠FAB.
在△CAE和△FAB中,AE=AB,∠CAE=∠FAB,AC=AF,
所以△CAE≌△FAB(SAS),所以EC=BF,
所以
(1)中的结论成立.
设AC与BF交于点N.
由△CAE≌△FAB,得∠MCN=∠AFN.
又因为∠ANF=∠CNM,∠CAF=m°,
所以∠CMN=∠CAF=m°(m≠90°),
所以
(2)中的结论不成立.

6 [2025汕头潮南区月考](1)提出问题:如图1,在直角三角形ABC中,$∠BAC= 90^{\circ }$,点A正好落在直线l上,则$∠1,∠2$的关系为____.
(2)探究问题:如图2,在直角三角形ABC中,$∠BAC= 90^{\circ },AB= AC$,点A正好落在直线l上,分别作$BD⊥l$于点D,$CE⊥l$于点E,试探究线段BD,CE,DE之间的数量关系,并说明理由.
(3)解决问题:如图3,直线PQ经过$Rt△ABC$的直角顶点C,$△ABC$的边上有两个动点D,E,点D以2 cm/s的速度从点A出发,沿$AC→CB$移动到点B,点E以3 cm/s的速度从点B出发,沿$BC→CA$移动到点A,两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点.过点D,E分别作$DM⊥PQ,EN⊥PQ$,垂足分别为M,N.若$AC= 12cm,BC= 16cm$,设运动时间为t s,当以点D,M,C为顶点的三角形与以点E,N,C为顶点的三角形全等时,求此时t的值.(直接写出结果)

答案：
6 解:
(1)∠1+∠2=90°
(2)DE=BD+CE.理由如下:
∵BD⊥直线l,CE⊥直线l,
∴∠BDA=∠AEC=90°.
∵∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠CAE=90°.
∵∠BAD+∠ABD=90°,
∴∠ABD=∠CAE.
在△ADB和△CEA中,∠BDA=∠AEC,∠ABD=∠CAE,AB=CA,
∴△ADB≌△CEA(AAS),
∴BD=AE,AD=CE,
∴DE=AE+AD=BD+CE.
(3)当t的值为4或$\frac{28}{5}$或12时,以点D,M,C为顶点的三角形与以点E,N,C为顶点的三角形全等.
当点D移动到点C时,t=$\frac{AC}{2}$=$\frac{12}{2}$=6(s);移动到点B时,t=$\frac{AC + CB}{2}$=$\frac{12 + 16}{2}$=14(s).
当点E移动到点C时,t=$\frac{BC}{3}$=$\frac{16}{3}$(s);移动到点A时,t=$\frac{CB + AC}{3}$=$\frac{16 + 12}{3}$=$\frac{28}{3}$(s).
分为以下情况:
①当点E在BC上,点D在AC上,即0 ＜ t ≤ $\frac{16}{3}$时,如图1,此时CE=(16 - 3t)cm,CD=(12 - 2t)cm.
∵以点D,M,C为顶点的三角形与以点E,N,C为顶点的三角形全等,
∴△DMC≌△CNE,
∴CD=CE,
∴12 - 2t=16 - 3t,
∴t=4.

②当点E在AC上,点D在AC上,即$\frac{16}{3}$ ＜ t ＜ 6时,如图2,此时CE=(3t - 16)cm,CD=(12 - 2t)cm.
∵以点D,M,C为顶点的三角形与以点E,N,C为顶点的三角形全等,
∴△DMC≌△ENC,
∴CD=CE,
∴12 - 2t=3t - 16,
∴t=$\frac{28}{5}$.

③当点E在AC上,点D在BC上,即6 ≤ t ＜ $\frac{28}{3}$时,如图3,此时CE=(3t - 16)cm,CD=(2t - 12)cm.
∵以点D,M,C为顶点的三角形与以点E,N,C为顶点的三角形全等,
∴△DMC≌△CNE,
∴CD=CE,
∴2t - 12=3t - 16,
∴t=4(不符合题意).

④当点E到达点A后,点D在BC上,即$\frac{28}{3}$ ≤ t ≤ 14时,如图4,此时CE=12cm,CD=(2t - 12)cm.
∵以点D,M,C为顶点的三角形与以点E,N,C为顶点的三角形全等,
∴△DMC≌△CNE,
∴CD=CE,
∴2t - 12=12,
∴t=12.

综上所述,当t的值为4或$\frac{28}{5}$或12时,以点D,M,C为顶点的三角形与以点E,N,C为顶点的三角形全等.