《2025年一遍过八年级数学上册苏科版》

8[2024南京江宁区期中]如图,D为$△ABC$内一点,CD平分$∠ACB,BD⊥CD$于点D,$∠A= ∠ABD$.若$BD= 1,BC= 3$,则AC的长为( )


A.5
B.4
C.3
D.2

答案：
A 如图,延长BD与AC交于点E[平分+垂直,延长构等腰].
∵∠A=∠ABD,
∴BE=AE.
∵BD⊥CD,
∴BE⊥CD.
∵CD平分∠ACB,
∴∠BCD=∠ECD,
∴∠EBC=∠BEC,
∴BC=CE.
∵BE⊥CD,
∴2BD=BE.
∵BD=1,BC=3,
∴CE=3,AE=BE=2,
∴AC=AE+EC=2+3=5.

9一题多解如图,在$△ABC$中,$AB= AC$,D,E分别是AB及AC延长线上的点,且$BD= CE$,连接DE交BC于点G.求证:$GD= GE.$

答案：
解题思路:欲证GD=GE观察图形联想证三角形全等BD=CE∠BGD=∠CGE造等角、等边证明:证法1 如图1,过点E作EF//AB交BC的延长线于点F.
∵AB=AC,EF//AB,
∴∠B=∠ACB=∠ECF=∠F,
∴EF=EC=BD.又
∵∠DGB=∠EGF,
∴△DBG≌△EFG(AAS),
∴GD=GE.

证法2 如图2,过点D作DH//AC交BC于点H.
∵AB=AC,DH//AC,
∴∠B=∠ACB=∠DHB,∠DHG=∠ECG,
∴BD=DH.又
∵BD=CE,
∴DH=CE.在△DHG和△ECG中,
∵∠DHG=∠ECG,∠HGD=∠CGE,DH=EC,
∴△DHG≌△ECG,
∴GD=GE.

证法3 如图3,过点D,E分别作BC的垂线DM,EN,垂足分别为M,N.
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
∴∠B=∠ECN.在△BMD和△CNE中,
∵∠B=∠ECN,∠DMB=∠N,BD=CE,
∴△BMD≌△CNE,
∴DM=NE.在△DMG和△ENG中,
∵∠DMG=∠N,∠DGM=∠EGN,DM=EN,
∴△DMG≌△ENG,
∴GD=GE.

解题通法证明两条线段相等的方法
(1)证两个三角形全等;
(2)利用角平分线上的点到角两边的距离相等;
(3)利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;
(4)利用轴对称的性质;
(5)利用“等角对等边”.

10新趋势·尺规作图[2024南京玄武区期中]过点P用两种不同的方法,利用直尺和圆规作直线l,交$∠MAN$两边于点B,C,使得$△ABC$为等腰三角形.(保留作图痕迹,不写作法)

答案：
解题思路 方法一:作AE平分∠MAN,作PF⊥AE交AM于点B,交AN于点C,△ABC即为所求.方法二:在AN上任意取一点T,作∠RTA=∠A,过点P作直线JW//AM,交RT于点W,作∠JPB=∠JWT,PB交AM于点B,交AN于点C,△ABC即为所求.解:如图,△ABC即为所求.

11推理能力[2024南京外国语学校期中]已知:点O到$△ABC$的两边AB,AC所在直线的距离相等,且$OB= OC.$
(1)如图1,若点O在边BC上,过点O分别作$OE⊥AB,OF⊥AC$,垂足分别是E,F.求证:$AB= AC.$
(2)如图2,若点O在$△ABC$的内部,求证:$AB= AC.$
(3)若点O在$△ABC$的外部,小强同学认为$AB= AC$也一定成立,你同意他的想法吗?若同意,请说明理由;若不同意,请画出反例并进行必要的标注.

答案：

(1)证明:在Rt△OEB和Rt△OFC中,OE=OF,OB=OC,
∴Rt△OEB≌Rt△OFC(HL),
∴∠B=∠C,
∴AB=AC.
(2)证明:如图1,过点O作OE⊥AB于点E,OF⊥AC于点F,则OE=OF,∠OEB=∠OFC=90°.在Rt△BOE和Rt△COF中,OE=OF,OB=OC,
∴Rt△BOE≌Rt△COF(HL),
∴∠EBO=∠FCO.
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB,
∴∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC.

(3)解:不同意他的想法.理由如下.分两种情况:①如图2,过点O作OE⊥AB的延长线于点E,作OF⊥AC的延长线于点F,则OE=OF,∠OEB=∠OFC=90°.在Rt△BOE和Rt△COF中,OE=OF,OB=OC,
∴Rt△BOE≌Rt△COF(HL),
∴∠EBO=∠FCO.
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB,
∴∠EBC=∠FCB,
∴∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC.


②如图3,过点O作OE⊥AB于点E,作OF⊥AC的延长线于点F,连接OA,则OE=OF.在Rt△AOE和Rt△AOF中,OE=OF,OA=OA,
∴Rt△AOE≌Rt△AOF(HL),
∴AE=AF,
∴AB＞AC.

1 如图,在△ABC 中,∠ABC 的平分线交 AC 于点 D,AD = 6 cm,过点 D 作 DE//BC。若△AED 的周长为 16 cm,则边 AB 的长为10cm。

答案： 10
∵在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，
∴∠ABD=∠CBD.
∵DE//BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∴∠EBD=∠EDB，
∴EB=ED.
∵△AED的周长为16 cm，AD=6 cm，
∴AD+ED+AE=16 cm，即ED+AE=16-6=10(cm)，
∴AB=AE+EB=AE+ED=10 cm.

如图,在△ABC 中,AB = 8,AC = 6,∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点 O,过点 O 作 BC 的平行线 MN 交 AB 于点 M,交 AC 于点 N,则△AMN 的周长为14。

答案： 14
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，
∴∠MBO=∠CBO，∠NCO=∠BCO.
∵MN//BC，
∴∠MOB=∠CBO，∠NOC=∠BCO，
∴∠MBO=∠MOB，∠NCO=∠NOC，
∴MO=MB，NO=NC.
∵AB=8，AC=6，
∴△AMN的周长为AM+MO+NO+AN=AM+MB+NC+AN=AB+AC=8+6=14.

3 如图,在△ABC 中,ED//BC,∠ABC 和∠ACB 的平分线分别交 ED 于点 G,F。若 FG = 4,ED = 8,则 EB + DC = ______。

12

答案： 12 由题意可得BG平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠ABG=∠CBG，∠DCF=∠BCF.又
∵ED//BC，
∴∠EGB=∠CBG，∠DFC=∠BCF，
∴∠EBG=∠EGB，∠DFC=∠DCF，
∴EG=BE，DF=DC，
∴EB+DC=EG+DF=ED+FG=12.

4 如图,△ABC 中∠ABC 的平分线 BO 与三角形外角平分线 CO 交于点 O,过点 O 作 OE//BC 交 AB 于点 E,交 AC 于点 F,则 EF 与 BE,CF 之间的数量关系为EF=BE-CF。

答案： EF=BE-CF
∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO=∠OBC.
∵EF//BC，
∴∠EOB=∠OBC，
∴∠EBO=∠EOB，
∴EB=EO.同理可得FO=CF.
∵EF=EO-FO，
∴EF=BE-CF.