《2025年一遍过八年级数学上册苏科版》

8 如图,点B,C,E在同一条直线上,∠B= ∠E= ∠ACF= 60°,AB= CE,则与线段BC相等的线段是(D)

A.AC
B.AF
C.CF
D.EF

答案： D
∵∠ACE=∠B+∠BAC=∠ACF+∠ECF,∠B=∠E=∠ACF=60°,
∴∠ECF=∠BAC;在△ABC和△CEF中，∠B=∠E，AB=CE，∠BAC=∠ECF，
∴△ABC≌△CEF(ASA),
∴BC=EF.

9 如图,在△ABC中,AB= AC,AB＞BC,点D在边BC上,且$\frac{BD}{BC}= \frac{1}{4},$点E,F在线段AD上,满足∠BED= ∠CFD= ∠BAC. 若S_{△ABC}= 20,则S_{△ABE}+S_{△CDF}= ______15.

答案： 15
∵∠BED=∠CFD=∠BAC,∠BED=∠BAE+∠ABE,∠BAC=∠BAE+∠CAF,∠CFD=∠FCA+∠CAF,
∴∠ABE=∠CAF,∠BAE=∠FCA.在△ABE和△CAF中,∠ABE=∠CAF，AB=CA，∠BAE=∠ACF，
∴△ABE≌△CAF(ASA),
∴S△ABE=S△ACF，
∴S△ABE+S△CDF=S△ACF+S△CDF=S△ACD.
∵S△ABC=20，$\frac{BD}{BC}$=$\frac{1}{4}$,
∴S△ACD=$\frac{3}{4}$S△ABC=15,
∴S△ABE+S△CDF=15.

10 [2025扬州江都区期末]有些数学题,表面上看起来无从下手,但根据图形的特点,可补全成为特殊的图形,然后根据特殊几何图形的性质去考虑,常常可以获得简捷解法. 根据以上文字,请解答问题：如图,已知△ABC的面积为$16cm^2,AD$平分∠BAC,且AD⊥BD于点D,则△ADC的面积为$______cm^2.$

答案：
8　如图,延长BD,AC交于点E.
∵AD平分∠BAC,且AD⊥BD于点D,
∴∠BAD=∠EAD,∠ADB=∠ADE=90°.在△ABD和△AED中,∠BAD=∠EAD，AD=AD，∠ADB=∠ADE=90°，
∴△ABD≌△AED(ASA),
∴AB=AE,BD=DE,
∴S△ABD=S△AED,S△BDC=S△EDC.设S△EDC=x.
∵△ABC的面积为16cm²,
∴S△ABE=S△ABC+S△BCE=16+2S△EDC=16+2x,
∴S△ADC=S△ADE−S△EDC=$\frac{1}{2}$S△ABE−S△EDC=$\frac{1}{2}$(16+2x)−x=8.

11 [2024武汉黄陂区月考]如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,点E在AD上,DE= DC,∠DEB= ∠DCA,F为BC的中点,过点C作MC//BE,交EF的延长线于点M.
(1) 求证：BE= AC.
(2) 试判断线段AC与线段MC的关系,并证明你的结论.

答案：
(1)证明:
∵AD⊥BC,
∴∠BDE=∠ADC=90°.在△BDE和△ADC中,∠DEB=∠DCA，DE=DC，∠BDE=∠ADC，
∴△BDE≌△ADC(ASA),
∴BE=AC.
(2)解:AC⊥MC且AC=MC.证明如下,
∵MC//BE,
∴∠EBF=∠MCF.
∵F为BC的中点，
∴BF=CF.在△BFE和△CFM中,∠EBF=∠MCF，BF=CF，∠BFE=∠CFM，
∴△BFE≌△CFM(ASA),
∴BE=MC,
∴AC=MC.
∵∠DEB+∠DBE=90°,∠DEB=∠DCA,∠EBF=∠MCF,
∴∠MCF+∠ACD=90°,
∴AC⊥MC.

12 推理能力 用两个全等的等边三角形ABC和ACD拼成四边形ABCD. 把一个含60°角的三角板与这个四边形叠合,使三角板的60°角的顶点与点A重合,两边分别与AB,AC重合. 将该三角板绕点A按逆时针方向旋转.
(1) 当三角板的两边分别与四边形的两边BC,CD相交于点E,F时(如图1所示),通过观察或测量BE,CF的长度,你能得出什么结论？并证明你的结论.
(2) 当三角板分别与四边形的两边BC,CD的延长线相交于点E,F时(如图2所示),你在(1)中得到的结论还成立吗？简要说明理由.

答案： 解:
(1)BE=CF.证明如下.
∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°,
∴∠BAE=∠CAF.在△ABE和△ACF中,∠BAE=∠CAF，AB=AC，∠B=∠ACF=60°，
∴△ABE≌△ACF(ASA),
∴BE=CF.
(2)BE=CF仍然成立.理由如下:
∵∠ACE=∠B+∠BAC=120°,∠ADF=∠ACD+∠CAD=120°,
∴∠ACE=∠ADF.
∵∠CAE+∠EAD=∠EAD+∠DAF=60°,
∴∠CAE=∠DAF.在△ACE和△ADF中,AC=AD，∠ACE=∠ADF，∠CAE=∠DAF，
∴△ACE≌△ADF(ASA),
∴CE=DF;
∵BC=CD,
∴BC+CE=CD+DF,
∴BE=CF.