《2025年一遍过八年级数学上册苏科版》

9 如图,已知线段 AB,分别以点 A,B 为圆心,5 为半径作弧相交于点 C,D,连接 CD,点 E 在 CD 上,连接 CA,CB,EA,EB。若△ABC 与△ABE 的周长之差为 4,则 AE 的长为(C)
A.1
B.2
C.3
D.4

答案： C 由作图可知,CD是线段AB的垂直平分线,
∴ CA=CB,EA=EB.
∵ △ABC与△ABE的周长之差为4,
∴ (CA+CB+AB)-(EA+EB+AB)=4,
∴ 2CA-2AE=4,
∴ CA-AE=2.
∵ AC=5,
∴ AE=3.

10 如图,在四边形 ABCD 中,AC 垂直平分 BD,垂足为 E。下列结论不一定成立的是(C)
A.AB = AD
B.CA 平分∠BCD
C.AB = BD
D.△BEC ≌ △DEC

答案： C
∵ AC垂直平分BD,
∴ AB=AD,BC=CD,BE=DE.又
∵ AC=AC,
∴ △ABC≌△ADC,
∴ ∠ACB=∠ACD,即CA平分∠BCD.在△BEC和△DEC中,
∵ BE=DE,EC=EC,BC=DC,
∴ △BEC≌△DEC.故选项A,B,D都成立.

11 [2024 石家庄桥西区期末]在如图所示的方格纸中,每个小方格都是边长为 1 的正方形,点 A,B 是方格纸中的两个格点(即正方形的顶点)。在这张 5×5 的方格纸中,找出格点 C,使 AC = BC,则满足条件的格点 C 有____个。

答案：
5 满足条件的格点C在线段AB的垂直平分线上,如图,观察图形可知符合条件的格点C有5个.
　　　　　　　　　

12 易错题[2024 南通海安十三校段考]在△ABC 中,AB = AC,BC = 10,AB 的垂直平分线与 AC 的垂直平分线分别交 BC 于点 D,E,且 DE = 4,则 AD + AE 的值为____。

答案：
6或14
∵ AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E,
∴ AD=BD,AE=CE,
∴ AD+AE=BD+CE.①当BD与CE无重合的部分时,如图1,AD+AE=BD+CE=BC-DE=10-4=6;②当BD与CE有重合的部分时,如图2,AD+AE=BD+CE=BC+DE=10+4=14.综上所述,AD+AE的值为6或14.
　　　 　　

13 [2025 苏州高新一中月考]如图,在△ABC 中,∠BAC ＞ 90°,AB 的垂直平分线分别交 AB,BC 于点 E,F,AC 的垂直平分线分别交 AC,BC 于点 M,N,直线 EF,MN 交于点 P。
(1)求证：点 P 在线段 BC 的垂直平分线上。
(2)已知∠FAN = 56°,求∠FPN 的度数。

答案：

(1)证明:如图,连接BP,AP,PC.
　　　　　　　　　　　　　　　
∵ PE垂直平分AB,PM垂直平分AC,
∴ PA=PB,PA=PC,
∴ PB=PC,
∴ 点P在线段BC的垂直平分线上.
(2)解:
∵ PE垂直平分AB,PM垂直平分AC,
∴ FA=FB,NA=NC,∠AEP=∠AMP=∠BEF=∠CMN=90°,
易得∠BAF=∠ABF,∠CAN=∠ACN,
∠EBF+∠BFE=∠MCN+∠MNC=90°.
设∠EBF=∠BAF=x,∠MCN=∠CAN=y,
∴ ∠BFE=90°-x,∠MNC=90°-y,
∴ ∠PFN=∠BFE=90°-x,∠PNF=∠MNC=90°-y.
∵ ∠EBF+∠MCN+∠CAB=180°,∠FAN=56°,
∴ 2x+2y+56°=180°,
∴ 2(x+y)=124°,
∴ x+y=62°.
∵ ∠PFN+∠PNF+∠FPN=180°,
∴ 90°-x+90°-y+∠FPN=180°,
∴ ∠FPN=180°-180°+(x+y)=62°.

14 如图,D 是△ABC 的边 BC 的中点,过 AD 延长线上的点 E 作 AE 的垂线 EF,垂足为 E,EF 与 AB 的延长线交于点 F,点 O 在 AD 上,AO = CO,BC // EF。
求证：(1)AB = AC；
(2)点 O 是△ABC 三边垂直平分线的交点。

答案： 证明:
(1)
∵ D是△ABC的边BC的中点,
∴ BD=CD.
∵ AE⊥EF,
∴ ∠AEF=90°.
∵ BC//EF,
∴ ∠ADB=∠AEF=90°,
∴ AD⊥BC,
∴ AD垂直平分BC,
∴ AB=AC.
(2)连接BO.
∵ AO=CO,
∴ 点O在AC的垂直平分线上.
由
(1)知AD垂直平分BC,
∴ BO=CO,
∴ 点O在BC的垂直平分线上.
∵ AO=CO,BO=CO,
∴ AO=BO,
∴ 点O在AB的垂直平分线上,
∴ 点O是△ABC三边垂直平分线的交点.