《2025年一遍过八年级数学上册苏科版》

6 在∠MAN内有一点D,过点D分别作DB⊥AM,DC⊥AN,垂足分别为B,C,且BD= CD,点E,F分别在边AM和AN上.
(1)如图1,若∠BED= ∠CFD,请说明DE= DF；
(2)如图2,若∠BDC= 120°,∠EDF= 60°,猜想EF,BE,CF之间的数量关系,并说明理由.

答案：

(1)因为DB⊥AM,DC⊥AN,所以∠DBE=∠DCF=90°.在△BDE和△CDF中,$\left\{\begin{array}{l} ∠BED=∠CFD,\\ ∠DBE=∠DCF,\\ BD=CD,\end{array}\right.$所以△BDE≌△CDF(AAS),所以DE=DF.
(2)EF=CF+BE.理由如下:如图,过点D作∠CDG=∠BDE,交AN于点G.在△BDE和△CDG中,$\left\{\begin{array}{l} ∠EBD=∠GCD,\\ BD=CD,\\ ∠BDE=∠CDG,\end{array}\right.$所以△BDE≌△CDG(ASA),所以DE=DG,BE=CG.因为∠BDC=120°,∠EDF=60°,所以∠BDE+∠CDF=60°,所以∠FDG=∠CDG+∠CDF=60°,所以∠EDF=∠GDF.在△EDF和△GDF中,$\left\{\begin{array}{l} DE=DG,\\ ∠EDF=∠GDF,\\ DF=DF,\end{array}\right.$所以△EDF≌△GDF(SAS),所以EF=GF,所以EF=GF=CF+CG=CF+BE.

7 推理能力 [2025南京梅山一中模拟]如图1,OP是∠MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形,并将添加的全等条件标注在图上.
请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题：
(1)如图2,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B= 60°,AD,CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线,AD,CE相交于点F,求∠EFA的度数.
(2)在(1)的条件下,请判断FE与FD之间的数量关系,并说明理由.
(3)如图3,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而(1)中的其他条件不变,试问(2)中所得的结论是否仍然成立? 若成立,请证明；若不成立,请说明理由.

答案：
如图1,分别在OM,ON上取点A,B,使OA=OB,在OP上任取一点C,连接AC,BC,则△OAC≌△OBC.
(1)
∵∠ACB=90°,∠B=60°,
∴∠BAC=30°.
∵AD,CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，
∴∠DAC= $\frac{1}{2}$∠BAC=15°,∠ECA= $\frac{1}{2}$∠ACB=45°,
∴∠EFA=∠DAC+∠ECA=15°+45°=60°.

(2)FE=FD.理由如下:如图2,在AC上截取AG=AE,连接FG;
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAF=∠GAF.在△EAF和△GAF中,$\left\{\begin{array}{l} AE=AG,\\ ∠EAF=∠GAF,\\ AF=AF,\end{array}\right.$
∴△EAF≌△GAF(SAS),
∴FE=FG,∠EFA=∠GFA=60°,
∴∠GFC=180°−60°−60°=60°.
∵∠DFC=∠EFA=60°,
∴∠DFC=∠GFC.
∵CE平分∠BCA,
∴∠FCD=∠FCG.在△FDC和△FGC中,$\left\{\begin{array}{l} ∠DFC=∠GFC,\\ FC=FC,\\ ∠FCD=∠FCG,\end{array}\right.$
∴△FDC≌△FGC(ASA),
∴FD=FG,
∴FE=FD.
(3)
(2)中所得的结论FE=FD仍然成立.证明如下:如图3,在AC上截取AH=AE,连接FH.同
(2)可得△EAF≌△HAF,
∴FE=FH,∠EFA=∠HFA.
∵AD平分∠BAC,CE平分∠ACB,
∴∠FAC= $\frac{1}{2}$∠BAC,∠FCA=∠FCD= $\frac{1}{2}$∠ACB,
∴∠FAC+∠FCA= $\frac{1}{2}$(∠BAC+∠ACB)= $\frac{1}{2}$(180°−∠B)=60°.
∴∠AFC=180°−(∠FAC+∠FCA)=120°,
∴∠EFA=∠HFA=180°−120°=60°,
∴∠HFC=180°−60°−60°=60°.
∵∠DFC=∠EFA=60°,
∴∠DFC=∠HFC.又
∵∠DCF=∠HCF,FC=FC,
∴△FDC≌△FHC,
∴FD=FH,
∴FE=FD.