《2025年一遍过八年级数学上册苏科版》

1 如图,$\triangle ABC$是等边三角形,D 是 AC 边上一点,过点 D 作$DE// AB$,交 BC 于点 E.
(1)求证:$\triangle CDE$是等边三角形.
(2)连接 BD,延长 BC 至点 F,使得$FD= BD$. 求证:$AD= CF.$

答案：
1 证明:
(1)
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°.
∵DE//AB，
∴∠CDE=∠A=60°，∠DEC=∠ABC=60°，
∴∠CDE=∠DEC=∠DCE=60°，
∴△CDE是等边三角形.
(2)如图,过点D作DM⊥CE于点M.
由
(1)知DE=DC，
∴ME=MC.

又
∵BD=FD，DM⊥BF，
∴BM=FM，
∴BM - EM=FM - CM，即BE=CF.
∵CA=CB，CD=CE，
∴BE=AD，
∴AD=CF.

2 一题多解 如图,在$\triangle ABC$中,AD 平分$∠BAC$,E,F 分别在 BD,AD 上,且$DE= CD,EF= AC.$求证:$EF// AB.$

答案：
2 证明:通解 如图1,过点E作AC的平行线交AD的延长线于点G，则EG//AC，
∴∠DEG=∠DCA.
在△DEG和△DCA中,$\left\{\begin{array}{l} ∠GDE=∠ADC,\\ ED=CD,\\ ∠DEG=∠DCA,\end{array}\right. $

∴△DEG≌△DCA，
∴GE=AC，∠G=∠CAD.
∵EF=AC，
∴EG=EF，
∴∠G=∠EFD.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠EFD=∠BAD，
∴EF//AB.
另解 如图2,延长AD至点M，使DM=DF，连接CM，
∵DC=DE，∠CDM=∠EDF，
∴△CMD≌△EFD，
∴∠M=∠EFD，EF=CM.
∵AC=EF，
∴CM=AC，
∴∠M=∠CAD.

∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠BAD=∠EFD，
∴EF//AB.

3 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$AB= AC,∠BAC= 90^{\circ }$,BD 是$∠ABC$的平分线,BD 的延长线垂直于过点 C 的直线于点 E. 求证:$BD= 2CE.$

答案：
3 证明:如图,延长BA，CE交于点F.
∵BD平分∠ABC，BE⊥CF，
∴BF=BC，
∴CE=EF，
∴CF=2CE.

∵∠BAC=90°，且AB=AC，
∴∠FAC=∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠FBE=∠CBE=22.5°，
∴∠F=∠ADB=67.5°.
在△ABD和△ACF中,$\left\{\begin{array}{l} ∠ADB=∠F,\\ ∠DAB=∠FAC,\\ AB=AC,\end{array}\right. $
∴△ABD≌△ACF，
∴BD=CF，
∴BD=2CE.