《2025年一遍过八年级数学上册苏科版》

7 天星原创如图,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,且DE= DF,连接EF,与AD相交于点O,则下列结论不一定成立的是(C)
A.OE= OF
B.AE= AF
C.OD= OF
D.∠EAD= ∠FAD

答案： C
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°.在Rt△ADE和Rt△ADF中，$\left\{\begin{array}{l} AD=AD,\\ DE=DF,\end{array}\right.$
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，
∴AE=AF，∠EAD=∠FAD.在△AEO和△AFO中，$\left\{\begin{array}{l} AE=AF,\\ ∠EAO=∠FAO,\\ AO=AO,\end{array}\right.$
∴△AEO≌△AFO(SAS)，
∴OE=OF.根据题目中的条件，无法判断选项C中的结论是否成立.

8[2024常州二十四中天宁分校月考]如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,AC= 10,BC= 5,线段PQ= AB,P,Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动,当AP= 5或10时,△ABC和△PQA全等.

答案： 5或10
∵∠C=90°，AO⊥AC，
∴∠C=∠QAP=90°.①当AP=5=BC时，在Rt△ACB和Rt△QAP中，$\left\{\begin{array}{l} AB=QP,\\ BC=PA,\end{array}\right.$
∴Rt△ACB≌Rt△QAP(HL)；②当AP=10=AC时，在Rt△ACB和Rt△PAQ中，$\left\{\begin{array}{l} AB=PQ,\\ AC=PA,\end{array}\right.$
∴Rt△ACB≌Rt△PAQ(HL).

9如图,D是CE的中点,F为AD上一点,且EF= AC.求证：∠DFE= ∠A.

答案： 证明:如图，过点C作CM⊥AD于点M，过点E作EN⊥AD交AD的延长线于点N，则∠N=∠CMD=∠CMA=90°.
∵D是CE的中点，
∴ED=CD.在△END和△CMD中，$\left\{\begin{array}{l} ∠N=∠CMD,\\ ∠EDN=∠CDM,\\ ED=CD,\end{array}\right.$
∴△END≌△CMD(AAS)，
∴EN=CM.又
∵EF=AC，
∴Rt△ENF≌Rt△CMA(HL)，
∴∠EFN=∠A，即∠DFE=∠A.

10[2025南京江宁区月考]求证：有一条直角边及斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等.

答案：
已知:如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠ACB=∠A'C'B'=90°，CD⊥AB于点D，C'D'⊥A'B'于点D'，BC=B'C'，CD=C'D'.求证:Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.证明:
∵CD⊥AB于点D，C'D'⊥A'B'于点D'，
∴∠CDB=∠C'D'B'=90°.在Rt△CDB和Rt△C'D'B'中，$\left\{\begin{array}{l} BC=B'C',\\ CD=C'D',\end{array}\right.$
∴Rt△CDB≌Rt△C'D'B'(HL)，
∴∠B=∠B'.在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，$\left\{\begin{array}{l} ∠ACB=∠A'C'B'=90°,\\ BC=B'C',\\ ∠B=∠B',\end{array}\right.$
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(ASA).

(1)已知$AB= AC$,$∠B= ∠C$。求证：$BD= CE$。
证明:在△ABE和△ACD中,{∠A=∠A,AB=AC,∠B=∠C,
∴△ABE≌△ACD(ASA),
∴AD=AE,
∴BD=CE.
(2)若$MB= CM$,$AB= AC$,$∠C= 30^{\circ}$,则$∠B= $30$^{\circ}$。
(3)若$AB= AC$,$AD= AE$,$∠A= 60^{\circ}$,$∠C= 25^{\circ}$,则$∠BMD= $70$^{\circ}$。
(4)连接AM,若$MB= MC$,$AD= AE$,$∠ADM= ∠AEM$,求证：$∠DAM= ∠EAM$。
证明:
∵∠ADM=∠AEM,
∴∠BDM=∠CEM.
在△BMD和△CME中,{∠BDM=∠CEM,∠BMD=∠CME,MB=MC,
∴△BMD≌△CME(AAS),
∴MD=ME.
在△AMD和△AME中,{AD=AE,MD=ME,AM=AM,
∴△AMD≌△AME(SSS),
∴∠DAM=∠EAM.
(5)若$∠BAC$是钝角,$AB= AC$,$CD= BE$,求证：$∠ADC= ∠AEB$。
证明:过B,C两点分别作CA,BA的垂线,垂足分别为F,G.在△ABF和△ACG中,{∠AFB=∠AGC=90°,∠FAB=∠GAC,AB=AC,
∴△ABF≌△ACG(AAS),
∴BF=CG.
在Rt△CDG和Rt△BEF中,{CD=BE,CG=BF,
∴Rt△CDG≌Rt△BEF(HL),
∴∠CDG=∠BEF,即∠ADC=∠AEB.

答案：
(1)证明:在△ABE和△ACD中,{∠A=∠A,AB=AC,∠B=∠C,
∴△ABE≌△ACD(ASA),
∴AD=AE,
∴BD=CE.
(2)解:30
连接AM.在△BAM和△CAM中,{AB=AC,AM=AM,BM=CM,
∴△BAM≌△CAM,
∴∠B=∠C.
∵∠C=30°,
∴∠B=30°.
(3)解:70
在△ADC和△AEB中,{AD=AE,∠A=∠A,AC=AB,
∴△ADC≌△AEB(SAS),
∴∠C=∠B,∠ADC=∠AEB.
∵∠A=60°,∠C=25°,
∴∠AEB=∠ADC=180°-∠A-∠C=180°-60°-25°=95°,
∴∠DME=360°-∠AEB-∠ADC-∠A=360°-95°-95°-60°=110°,
∴∠BMD=180°-∠DME=180°-110°=70°.
(4)证明:
∵∠ADM=∠AEM,
∴∠BDM=∠CEM.
在△BMD和△CME中,{∠BDM=∠CEM,∠BMD=∠CME,MB=MC,
∴△BMD≌△CME(AAS),
∴MD=ME.
在△AMD和△AME中,{AD=AE,MD=ME,AM=AM,
∴△AMD≌△AME(SSS),
∴∠DAM=∠EAM.
(5)证明:过B,C两点分别作CA,BA的垂线,垂足分别为F,G.在△ABF和△ACG中,{∠AFB=∠AGC=90°,∠FAB=∠GAC,AB=AC,
∴△ABF≌△ACG(AAS),
∴BF=CG.
在Rt△CDG和Rt△BEF中,{CD=BE,CG=BF,
∴Rt△CDG≌Rt△BEF(HL),
∴∠CDG=∠BEF,即∠ADC=∠AEB.