《2025年一遍过八年级数学上册苏科版》

1 [2025无锡天一中学月考]如图,在△ABC中,AB= AC,AB= 5,BC= 8,AD是∠BAC的平分线,则AD的长为 (C)

A.5
B.4
C.3
D.2

答案： C
∵AB=AC,AD是∠BAC的平分线,
∴BD=1/2BC=4,AD⊥BC.由勾股定理,得AD=√(AB² - BD²)=3.

如图,在△ABC中,∠ACB= 90°,AC的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,连接CD.若△ABC的周长为12,BC= 3,则△BCD的周长为 (C)
A.12
B.10
C.8
D.6

答案： C 设AB=x.
∵△ABC的周长为12,
∴AB + AC + BC = 12.
∵BC = 3,
∴AB + AC = 9,
∴AC = 9 - x.
∵∠ACB = 90°,
∴AB² = AC² + BC²,
∴x² = (9 - x)² + 3²,解得x = 5,即AB = 5.
∵DE是AC的垂直平分线,
∴DA = DC,
∴△BCD的周长为BC + BD + CD = BC + BD + AD = BC + AB = 3 + 5 = 8.

如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,CD为斜边AB上的中线,过点D作DE⊥AB,连接AE,BE.若CD= 8,AE= 10,则DE的长为 (A)
A.6
B.8
C.10
D.12

答案： A
∵∠ACB = 90°,CD为斜边AB上的中线,
∴AD = CD = 8.
∵DE⊥AB,
∴∠ADE = 90°,
∴AE² = AD² + DE².
∵AE = 10,AD = 8,
∴DE = √(AE² - AD²)=√(10² - 8²)=6.

4 [2025南京玄武区期末]在△ABC中,AB= AC= 13,BC= 10,则△ABC的面积为______60.

答案： 60 如图,过点A作AD⊥BC于点D(作垂线构造直角三角形).
∵AB = AC,
∴BD = 1/2BC = 5.
∵AD⊥BC,
∴∠ADB = 90°,
∴AD² = AB² - BD²,
∴AD = √(13² - 5²)=12,
∴S△ABC = 1/2BC·AD = 1/2×10×12 = 60.

5 教材习题变式[2025无锡梁溪区期末]如图,以Rt△ACB的两边AB,BC为边向外所作正方形的面积分别是$26cm^2,10cm^2,$则以另一边AC为直径向外作半圆的面积为$2πcm^2.$

答案： 2π
∵以Rt△ACB的两边AB,BC为边向外所作正方形的面积分别是26cm²,10cm²,AC² = AB² - BC²,
∴AC² = 26 - 10 = 16,
∴以另一边AC为直径向外作半圆的面积为1/2π×(AC/2)² = 1/2π×16/4 = 2π(cm²).

6 [2024宿迁期中]如图,AB= BC= CD= DE= EF,∠CBA= ∠DCA= ∠EDA= ∠FEA= 90°,以点A为圆心,AF长为半径画弧交数轴于点P.若点A表示的数为0,点B表示的数为1,则点P表示的数为-√5.

答案： -√5 在Rt△ABC中,AC = √(1² + 1²)=√2,同理,AD = √((√2)² + 1²)=√3,AE = √((√3)² + 1²)=2,AF = √(2² + 1²)=√5,由题意知AP = AF = √5,
∴点P表示的数是-√5.

7 教材习题变式[2025常州明德实验中学期中]如图,∠BDC= 90°,AB= 13,AC= 12,BD= 4,CD= 3,求图中阴影部分的面积.
]

答案： 解:连接BC.
∵∠BDC = 90°,BD = 4,CD = 3,
∴BC = √(BD² + CD²)=√(4² + 3²)=5.
∵AB = 13,AC = 12,
∴AC² + BC² = 12² + 5² = AB²,
∴△ABC是直角三角形,且∠ACB = 90°,
∴S阴影部分 = 1/2AC·BC - 1/2CD·BD = 1/2×12×5 - 1/2×3×4 = 30 - 6 = 24.

8 教材例题变式[2025南京鼓楼区期末]用两种方法证明“垂线段最短”.点P在直线l外,PA⊥l,垂足为A,Q为直线l上不同于点A的任意一点.求证:PA＜PQ.
(1)小明的操作是:如图1,延长PA至点B,使得AB= PA,连接BQ……请接着小明的操作完成证明.
(2)小芳发现还可以通过“勾股定理”来证明,请结合图2完成.
]

答案： 证明:
(1)如题图1,延长PA至点B,使得AB = PA,连接BQ.在△APQ和△ABQ中,{AP = AB,∠PAQ = ∠BAQ,AQ = AQ,
∴△APQ≌△ABQ(SAS),
∴PQ = BQ.
∵PQ + BQ ＞ PB,
∴2PQ ＞ 2AP,
∴PA ＜ PQ.
(2)
∵PA⊥l,
∴∠PAQ = 90°,
∴PQ² = PA² + AQ².
∵AQ ＞ 0,
∴PA² ＜ PQ².又
∵PA ＞ 0,PQ ＞ 0,
∴PA ＜ PQ.