《2025年轻松作业本九年级数学上册苏科版》

10. 已知点$A(4x,y^{2}+9)与点B(4x^{2}+1,-6y)$关于坐标原点对称,则$2x+y$的值为______2.

答案： 2

11. 用配方法解下列方程:
(1)$2x^{2}-3= 5x$; $x_{1}=3,x_{2}=-\frac{1}{2}$(2)$3y^{2}+2= 6y$; $y_{1}=1+\frac{\sqrt{3}}{3},y_{2}=1-\frac{\sqrt{3}}{3}$
(3)$9y^{2}-18y-4= 0$; $y_{1}=1+\frac{\sqrt{13}}{3},y_{2}=1-\frac{\sqrt{13}}{3}$(4)$(2x-1)(x+3)= 4$. $x_{1}=1,x_{2}=-\frac{7}{2}$

答案：
(1)$x_{1}=3,x_{2}=-\frac{1}{2}$
(2)$y_{1}=1+\frac{\sqrt{3}}{3},y_{2}=1-\frac{\sqrt{3}}{3}$
(3)$y_{1}=1+\frac{\sqrt{13}}{3},y_{2}=1-\frac{\sqrt{13}}{3}$
(4)$x_{1}=1,x_{2}=-\frac{7}{2}$

12. 用配方法求解下列问题:
(1)$2x^{2}-7x+2$的最小值; (2)$-3x^{2}+5x+1$的最大值.

答案： 解：
(1)$\because 2x^{2}-7x+2=2(x^{2}-\frac{7}{2}x)+2=2(x-\frac{7}{4})^{2}-\frac{33}{8}\geq-\frac{33}{8}$，$\therefore$最小值为$-\frac{33}{8}$；
(2)$\because -3x^{2}+5x+1=-3(x-\frac{5}{6})^{2}+\frac{37}{12}\leq\frac{37}{12}$，$\therefore$最大值为$\frac{37}{12}$。

13. 如图,在$\triangle ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ }$,以点$B$为圆心,$BC$的长为半径画弧,交线段$AB于点D$,以点$A$为圆心,$AD$长为半径画弧,交线段$AC于点E$,设$BC= a,AC= b$.
(1) 请你判断:线段$AD的长度是方程x^{2}+2ax-b^{2}= 0$的一个根吗? 说明理由;
(2) 若线段$AD= EC$,求$\frac {a}{b}$的值.

答案： 解：
(1)$\because$在$\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$\therefore AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$。$\because BC=a,AC=b$，$\therefore AB^{2}=a^{2}+b^{2}$。方程$x^{2}+2ax-b^{2}=0$变形为$x^{2}+2ax+a^{2}=a^{2}+b^{2}$，$\therefore(x+a)^{2}=AB^{2}$。$\because BD=BC=a$，$\therefore(x+BD)^{2}=AB^{2}$。$\therefore$线段$AD$的长度是方程$x^{2}+2ax-b^{2}=0$的一个根；
(2)$\because AD=EC$，$\therefore AC=2AD=2AE=b$。$\therefore AD=\frac{1}{2}b$。$\therefore AB=a+\frac{1}{2}b$。$\because AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$，$\therefore(a+\frac{1}{2}b)^{2}=a^{2}+b^{2}$，整理，得$a=\frac{3}{4}b$。$\therefore\frac{a}{b}=\frac{3}{4}$。