《2025年轻松作业本九年级数学上册苏科版》

8. 如图,PA、PB分别切⊙O于点A、B,E为$\overset{\frown}{AB}$上的一点,QD切⊙O于点E,分别交PA、PB于点Q、D,连接OQ、OD．若∠P= 28°,则∠QOD= ______76°．

答案： 76

9. 如图,在矩形ABCD中,AB= 4,AD= 3,M、N分别是BC、DC边上的点,若⊙O经过点A,且与BC、DC分别相切于点M、N,则⊙O的半径为7 - 2$\sqrt{6}$．

答案： 7 - 2$\sqrt{6}$

10. 如图,在△ABC中,∠C= 90°,⊙O是△ABC的内切圆,D、E、F是切点,连接OD、OE．
(1)求证：四边形ODCE是正方形；
(2)如果AC= 6,BC= 8,求⊙O的半径为2．

答案：
(1)证明:
∵⊙O是△ABC的内切圆，D、E是切点，
∴OD⊥BC，OE⊥AC.又
∵∠C = 90°，
∴四边形ODCE是矩形.
∵OD = OE，
∴四边形ODCE是正方形;
(2)解:
∵∠C = 90°，AC = 6，BC = 8，
∴AB = 10.由切线长定理得，AF = AE，BD = BF，CD = CE，
∴CD + CE = BC + AC - BD - AE = BC + AC - AB = 4.
∴OD = CE = 2，即⊙O的半径为2.

11. 如图,在△ABC中,∠ABC= 90°,O是AB上一点,以点O为圆心,OB为半径的圆与AB交于点E,与AC切于点D,连接DE、OC．若AD= 2,AE= 1,求CD的长．

解:连接OD.设⊙O的半径为r.∵⊙O与AC切于点D，∴OD⊥AD，即∠ADO = 90°.∴AD² + DO² = AO².∴4 + r² = (r + 1)²，解得r = $\frac{3}{2}$，即OE = $\frac{3}{2}$.∴BE = 3，AB = 4.由切线长定理可得CB = CD.设CB = x，则AC = AD + CD = 2 + x.在Rt△ABC中，CB² + AB² = AC²，即x² + 16 = (x + 2)²，解得x = 3.∴CD = 3.

答案： 解:连接OD.设⊙O的半径为r.
∵⊙O与AC切于点D，
∴OD⊥AD，即∠ADO = 90°.
∴AD² + DO² = AO².
∴4 + r² = (r + 1)²，解得r = $\frac{3}{2}$，即OE = $\frac{3}{2}$.
∴BE = 3，AB = 4.由切线长定理可得CB = CD.设CB = x，则AC = AD + CD = 2 + x.在Rt△ABC中，CB² + AB² = AC²，即x² + 16 = (x + 2)²，解得x = 3.
∴CD = 3.

12. (2024·自贡)在Rt△ABC中,∠C= 90°,⊙O是△ABC的内切圆,切点分别为D、E、F．
(1)图①中三组相等的线段分别是CE= CF,AF= AD,BD= BE；若AC= 3,BC= 4,则⊙O半径长为1；
(2)如图②,延长AC到点M,使AM= AB,过点M作MN⊥AB于点N．求证：MN是⊙O的切线．

答案：
(1)AD BE 1
(2)证明:如图，过点O作OH⊥MN于点H，连接OD、OE、OF.
∵∠ANM = 90° = ∠ACB，∠A = ∠A，AM = AB，
∴△AMN≌△ABC(AAS).
∴AN = AC.
∵AD = AF，
∴AN - AD = AC - AF，即DN = CF.同
(1)可知，CF = OE，
∴DN = OE.
∵∠ANM = 90° = ∠ODN = ∠OHN，
∴四边形OHND是矩形.
∴OH = DN.
∴OH = OE，即OH是⊙O的半径.
∵OH⊥MN，
∴MN是⊙O的切线.