《2025年轻松作业本九年级数学上册苏科版》

6. 某书中记载,形如$x^{2}+10x= 56$的方程,求正数解的几何方法是:如图①,先构造一个面积为$x^{2}$的正方形,再以该正方形的边长为一边向外构造四个面积均为$\frac {5}{2}x$的矩形,则大正方形的面积为$56+25= 81$,则原方程的正数解为“$9-5= 4$”.小聪按此方法解关于$y的方程y^{2}+20y+m= 0$时,构造出如图②所示的图形,已知阴影部分的面积为156,则该方程的正数解为 (A)

A. 6
B. 8
C. 16
D. $2\sqrt {39}-5$

答案： A

7. 如图所示是某市将要开发的一块矩形土地,长为$x$km,宽为3km,建筑开发商将这块土地分为甲地、乙地、丙地三部分,其中甲地和乙地均为正方形.现计划甲地建住宅区,乙地建商业区,丙地开辟成小区公园.若已知丙地的面积为2$km^{2}$,则$x$的值为5或4.

答案： 5或4

8. 如图,在矩形$ABCD$中,$AB= 5$cm,$BC= 7$cm,点$P从点A开始沿AB边向点B$以1cm/s的速度移动,点$Q从点B开始沿BC边向点C$以2cm/s的速度移动,如果点$P$、$Q分别从点A$、$B$同时出发.
(1) 几秒后,$\triangle PBQ$的面积为4$cm^{2}$?1
(2) 几秒后,$PQ$的长度为5cm?2
(3) 在(1)中,$\triangle PBQ$的面积能否等于7$cm^{2}$? 请说明理由.不能，理由：由(1)得x(5 - x) = 7，即x² - 5x + 7 = 0。∵5² - 4×7 = -3 ＜ 0，∴所列方程无实数解，即在(1)中，△PBQ的面积不能等于7 cm²

答案： 解:
(1)设x s后，△PBQ的面积为4 cm²。由题意，得$\frac{1}{2}$×2x(5 - x) = 4，解得$x_1$ = 1，$x_2$ = 4。
∵2x ≤ 7，
∴x ≤ 3.5。
∴x = 4不符合题意，舍去。
∴x = 1，即1 s后，△PBQ的面积为4 cm²；
(2)设y s后，PQ的长度为5 cm。由题意，得(2y)² + (5 - y)² = 25，解得$y_1$ = 2，$y_2$ = 0(不合题意，舍去)。
∴2 s后，PQ的长度为5 cm；
(3)在
(1)中，△PBQ的面积不能等于7 cm²。理由:由
(1)得x(5 - x) = 7，即x² - 5x + 7 = 0。
∵5² - 4×7 = -3 ＜ 0，
∴所列方程无实数解，即在
(1)中，△PBQ的面积不能等于7 cm²。

9. 如图,$A$、$B$、$C$、$D$为矩形的四个顶点,$AB= 16$cm,$AD= 6$cm,动点$P$、$Q分别从点A$、$C$同时出发,点$P$以3cm/s的速度向点$B$移动,到点$B$停止移动,点$Q$以2cm/s的速度向点$D$移动.
(1) $P$、$Q$两点从出发开始到几秒时,四边形$PBCQ$的面积为33$cm^{2}$?
(2) $P$、$Q$两点从出发开始到几秒时,点$P$、$Q$间的距离是10cm?
(3) $P$、$Q$两点从出发开始到几秒时,以$P$、$Q$、$D$为顶点的三角形是等腰三角形?

答案：
解:
(1)设P、Q两点从出发开始到x s时，四边形PBCQ的面积为33 cm²，则PB = (16 - 3x) cm，QC = 2x cm。根据梯形的面积公式，得$\frac{1}{2}$(16 - 3x + 2x)×6 = 33，解得x = 5。
∴P、Q两点从出发开始到5 s时，四边形PBCQ的面积为33 cm²；
(2)设P、Q两点从出发开始到t s时，点P、Q间的距离是10 cm，如图①，过点Q作QE⊥AB，垂足为E，则QE = AD = 6 cm，PQ = 10 cm。
∵PA = 3t cm，CQ = BE = 2t cm，
∴PE = AB - AP - BE = |16 - 5t| cm。由勾股定理，得PE² + QE² = PQ²，即(16 - 5t)² + 6² = 10²，解得$t_1$ = 4.8，$t_2$ = 1.6。
∴P、Q两点从出发开始到1.6 s或4.8 s时，点P、Q间的距离是10 cm；
(3)如图②，连接PD，过点P作PM⊥CD于点M，过点Q作QN⊥AB于点N，设P、Q两点从出发开始到y s时，以P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形，则DM = AP = 3y cm，CQ = BN = 2y cm。分三种情况:①当DP = PQ时，则DM = MQ = 3y cm。
∵3y + 3y + 2y = 16，
∴y = 2；②当DQ = PQ时，在Rt△PNQ中，由勾股定理得(16 - 2y)² = 6² + (16 - 3y - 2y)²，整理，得7y² - 32y + 12 = 0，解得$y_1$ = $\frac{16 + 2\sqrt{43}}{7}$，$y_2$ = $\frac{16 - 2\sqrt{43}}{7}$；③当DP = DQ时，在Rt△DAP中，由勾股定理得:(16 - 2y)² = 6² + (3y)²，整理，得5y² + 64y - 220 = 0，解得$y_1$ = $\frac{-32 + 6\sqrt{59}}{5}$，$y_2$ = $\frac{-32 - 6\sqrt{59}}{5}$(不合题意，舍去)。综上所述，P、Q两点从出发开始到2 s、$\frac{16 + 2\sqrt{43}}{7}$ s、$\frac{16 - 2\sqrt{43}}{7}$ s或$\frac{-32 + 6\sqrt{59}}{5}$ s时，以P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形。