《2025年轻松作业本九年级数学上册苏科版》

9. 如图,$AB$ 是 $\odot O$ 的直径,点 $C$、$D$、$E$ 在 $\odot O$ 上,若 $\angle ACE = 20^{\circ}$,则 $\angle BDE$ 的度数为(C)

A. $90^{\circ}$
B. $100^{\circ}$
C. $110^{\circ}$
D. $120^{\circ}$

答案： C

10. 如图,在圆内接四边形 $ABCD$ 中,若 $\angle A$、$\angle B$、$\angle C$ 的度数之比为 $4:3:5$,则 $\angle D$ 的度数是______120$^{\circ}$。

答案： 120

11. 如图,在 $\odot O$ 的内接四边形 $ABCD$ 中,$AB = AD$,$\angle C = 110^{\circ}$。若点 $P$ 在 $\overset{\frown}{AB}$ 上,则 $\angle P$ 的度数为125°。

答案： 125°

12. 如图,四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$,$\angle BAD = 90^{\circ}$,$\overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{CD}$,过点 $C$ 作 $CE$,使得 $CE = CD$,交 $AD$ 的延长线于点 $E$。
(1)求证：$AB = AE$；
(2)若 $AD = DE = 2$,求 $\odot O$ 的直径。

答案：

(1) 证明:如图,连接AC.
∵ $\overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{CD}$,
∴ ∠BAC = ∠EAC.
∴ CB = CD.
∵ CE = CD,
∴ CB = CE, ∠E = ∠CDE.
∵ ∠ABC + ∠ADC = ∠ADC + ∠CDE = 180°,
∴ ∠ABC = ∠CDE = ∠E. 在△ABC和△AEC中, $\begin{cases} ∠ABC = ∠E \\ ∠BAC = ∠EAC \\ AC = AC \end{cases}$,
∴ △ABC ≌ △AEC (AAS).
∴ AB = AE;
(2) 解:如图,连接BD.
∵ ∠BAD = 90°,
∴ BD是⊙O的直径. 由
(1)可得AB = AE.
∵ AD = DE = 2,
∴ AE = AB = 4. 在Rt△ABD中, $BD = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = 2\sqrt{5}$,
∴ ⊙O的直径为$2\sqrt{5}$.

13. 如图,在 $\odot O$ 的内接四边形 $ABCD$ 中,$AB = AD$,$E$ 为 $\overset{\frown}{AD}$ 上一点。
(1)若 $\angle C = 110^{\circ}$,求 $\angle BAD$ 和 $\angle E$ 的度数；$\angle BAD=$70°，$\angle E=$125°
(2)若 $\angle E = \angle C$,求证：$\triangle ABD$ 为等边三角形。
证明:∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∴ ∠BAD + ∠C = 180°.∵ 四边形ABDE是⊙O的内接四边形,∴ ∠ABD + ∠E = 180°. 又∵ ∠E = ∠C,∴ ∠BAD = ∠ABD.∴ AD = BD.∵ AB = AD,∴ AD = BD = AB.∴ △ABD为等边三角形.

答案：
(1) 解:
∵ 四边形ABCD内接于⊙O,
∴ ∠BAD + ∠C = 180°.
∵ ∠C = 110°,
∴ ∠BAD = 70°.
∵ AB = AD,
∴ ∠ABD = ∠ADB = 55°.
∵ 四边形ABDE内接于⊙O,
∴ ∠ABD + ∠E = 180°.
∴ ∠E = 125°;
(2) 证明:
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形,
∴ ∠BAD + ∠C = 180°.
∵ 四边形ABDE是⊙O的内接四边形,
∴ ∠ABD + ∠E = 180°. 又
∵ ∠E = ∠C,
∴ ∠BAD = ∠ABD.
∴ AD = BD.
∵ AB = AD,
∴ AD = BD = AB.
∴ △ABD为等边三角形.

14. 如图,在圆内接四边形 $ABDC$ 中,$\angle BAC = 60^{\circ}$,$AB = AC$。
(1)求 $\angle ADB$ 的大小；60°
(2)求证：$AD = BD + CD$。
证明:在AD上取点E、F,使DE = DB, DF = DC,连接BE、CF,∵ ∠ADB = 60°, ∠ADC = ∠ABC = 60°,∴ △BDE和△CDF都是等边三角形.∴ ∠DEB = ∠DFC = 60°, FC = CD.∴ ∠AEB = ∠CFA = 120°.∴ ∠FAC + ∠FCA = ∠DFC = 60°.∵ ∠FAC + ∠EAB = ∠BAC = 60°,∴ ∠EAB = ∠FCA. 在△ABE和△CAF中, $\begin{cases} ∠EAB = ∠FCA \\ ∠AEB = ∠CFA \\ AB = CA \end{cases}$,∴ △ABE ≌ △CAF (AAS).∴ AE = CF.∴ AD = DE + AE = BD + FC = BD + CD.

答案：
(1) 解:连接BC,
∵ ∠BAC = 60°, AB = AC,
∴ △ABC为等边三角形.
∴ ∠ACB = 60°.
∵ ∠ADB = ∠ACB,
∴ ∠ADB = 60°;
(2) 证明:在AD上取点E、F,使DE = DB, DF = DC,连接BE、CF,
∵ ∠ADB = 60°, ∠ADC = ∠ABC = 60°,
∴ △BDE和△CDF都是等边三角形.
∴ ∠DEB = ∠DFC = 60°, FC = CD.
∴ ∠AEB = ∠CFA = 120°.
∴ ∠FAC + ∠FCA = ∠DFC = 60°.
∵ ∠FAC + ∠EAB = ∠BAC = 60°,
∴ ∠EAB = ∠FCA. 在△ABE和△CAF中, $\begin{cases} ∠EAB = ∠FCA \\ ∠AEB = ∠CFA \\ AB = CA \end{cases}$,
∴ △ABE ≌ △CAF (AAS).
∴ AE = CF.
∴ AD = DE + AE = BD + FC = BD + CD.