《2025年轻松作业本九年级数学上册苏科版》

1. 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-x= m^{2} $ 的根的情况是 (A)
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 无法确定

答案： A

2. 已知 $ a $、$ b $、$ c $ 为常数,点 $ P(a,c) $ 在第四象限,则关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2}+bx+c= 0 $ 的根的情况为 (B)
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判定

答案： B

3. 在平面直角坐标系中,点 $ P $ 的坐标为 $ (m,n) $,称关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}+mx+n= 0 $ 为点 $ P $ 的对应方程. 若点 $ A(1,1),B(-2,2) $,则线段 $ AB $ 上任意点的对应方程的实数根有0个.

答案： 0 点拨:设直线 AB 的解析式为 $ y = kx + b $,
$\therefore \left\{\begin{array}{l} k + b = 1,\\ -2k + b = 2,\end{array}\right. $ 解得 $\left\{\begin{array}{l} k = -\frac{1}{3},\\ b = \frac{4}{3}.\end{array}\right. $ $\therefore$ 直线 AB 的解析式为
$ y = -\frac{1}{3}x + \frac{4}{3} $. 设直线 AB 上的任意一点为 $ (a, -\frac{1}{3}a + \frac{4}{3}) $,
$\therefore$ 这个点的对应方程为 $ x^{2} + ax - \frac{1}{3}a + \frac{4}{3} = 0 $. $\because \Delta = a^{2} -$
$ 4 \times 1 \times (-\frac{1}{3}a + \frac{4}{3}) = (a + \frac{2}{3})^{2} - \frac{52}{9} $, 又 $\because -2 \leq a \leq 1 $, 当
$ a = -\frac{2}{3} $ 时, 有最小值 $ -\frac{52}{9} $; 当 $ a = 1 $ 时, 有最大值 $ -3 $,
$\therefore -\frac{52}{9} \leq \Delta \leq -3 $, 即 $ \Delta ＜ 0 $. $\therefore$ 线段 AB 上任意点的对应方程
都没有实数根, 故答案为 0.

4. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+(k+3)x+2k+2= 0 $.
(1) 求证:方程有两个实数根;
(2) 若方程的两个根都是负根,求 $ k $ 的取值范围.

答案：
(1) 证明: $ b^{2} - 4ac = (k + $
$ 3)^{2} - 4 \times 1 \times (2k + 2) = k^{2} - 2k + 1 = (k - 1)^{2} $, $\because$ 不论 $ k $ 为何
值, $ (k - 1)^{2} \geq 0 $, $\therefore$ 方程有两个实数根;
(2) 解: $ x = $
$ \frac{-(k + 3) \pm \sqrt{(k - 1)^{2}}}{2 \times 1} $, $ x_{1} = \frac{-k - 3 + k - 1}{2} = -2 $, $ x_{2} = $
$ \frac{-k - 3 - k + 1}{2} = -k - 1 $, $\because$ 方程的两个根都是负根, $\therefore -k -$
$ 1 ＜ 0 $. $\therefore k ＞ -1 $.

5. 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ kx^{2}+4x+2= 0 $ 有实数根,则 $ k $ 的取值范围是 (B)
A. $ k \geqslant -2 $
B. $ k \leqslant 2 $ 且 $ k \neq 0 $
C. $ k \geqslant -2 $ 且 $ k \neq 0 $
D. $ k \leqslant 2 $

答案： B

6. 当 $ m= $______-4时,关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-4x-m= 0 $ 有两个相等的实数根.

答案： -4

7. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-(k+2)x+2k= 0 $.
(1) 求证:无论 $ k $ 取何值,方程总有实数根;
(2) 若方程有两个相等的实数根,求出方程的根.

答案：
(1) 证明: $ b^{2} - 4ac = $
$ [-(k + 2)]^{2} - 4 \cdot 2k = (k - 2)^{2} $, $\because (k - 2)^{2} \geq 0 $, 即 $ b^{2} - 4ac \geq $
0, $\therefore$ 无论 $ k $ 取何值, 方程总有实数根;
(2) 解: 根据题意, 得
$ b^{2} - 4ac = (k - 2)^{2} = 0 $, 解得 $ k = 2 $, 则方程变形为 $ x^{2} - 4x + 4 = $
0, $\therefore x_{1} = x_{2} = 2 $.

8. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (m-3)x^{2}-(m-4)x-1= 0 $ ( $ m $ 为实数).
(1) 若方程有两个不相等的实数根,求 $ m $ 的取值范围;
(2) 若 $ m $ 为整数,且该方程有一个根是负整数,求 $ m $ 的值.

答案： 解:
(1) $\because$ 依题意, 得 $ m - 3 \neq 0 $, $ b^{2} -$
$ 4ac = (-m + 4)^{2} - 4(m - 3) \times (-1) ＞ 0 $. $\therefore (m - 2)^{2} ＞ 0 $, 即 $ m $
的取值范围是 $ m \neq 2 $, $ m \neq 3 $ 的实数;
(2) $ x = \frac{m - 4 \pm (m - 2)}{2(m - 3)} $,
$\therefore x_{1} = -\frac{1}{m - 3} $, $ x_{2} = 1 $. $\because$ 方程有一个根是负整数, $\therefore m - 3 ＞ $
0. $\therefore m ＞ 3 $. 又 $\because -\frac{1}{m - 3} $ 为负整数, $\therefore m = 4 $.