《2025年轻松作业本九年级数学上册苏科版》

9. 已知 $ \beta $ 是一元二次方程 $ x^{2}-2x-5= 0 $ 的一个根,求代数式 $ 3 \beta ( \beta -4)+( \beta +2)^{2} $ 的值.

答案： 解: $ 3\beta(\beta -$
$ 4) + (\beta + 2)^{2} = 3\beta^{2} - 12\beta + \beta^{2} + 4\beta + 4 = 4\beta^{2} - 8\beta + 4 = 4(\beta^{2} -$
$ 2\beta) + 4 $, $\because \beta $ 是一元二次方程 $ x^{2} - 2x - 5 = 0 $ 的一个根, $\therefore \beta^{2} -$
$ 2\beta - 5 = 0 $, 即 $ \beta^{2} - 2\beta = 5 $. $\therefore 4(\beta^{2} - 2\beta) + 4 = 4 \times 5 + 4 = 24 $.

10. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-2mx+m^{2}-n= 0 $ 有两个不相等的实数根.
(1) 求 $ n $ 的取值范围;
(2) 若 $ n $ 为符合条件的最小整数,且该方程的较大根是较小根的 2 倍,求 $ m $ 的值.

答案： 解:
(1) $\because$ 关于 $ x $ 的方程 $ x^{2} - 2mx + m^{2} - n = 0 $ 有两个不
相等的实数根, $\therefore b^{2} - 4ac = (-2m)^{2} - 4(m^{2} - n) = 4m^{2} -$
$ 4m^{2} + 4n ＞ 0 $. $\therefore n ＞ 0 $;
(2) $\because n $ 为符合条件的最小整数, $ n ＞ $
0, $\therefore n = 1 $. $\therefore$ 原方程为 $ x^{2} - 2mx + m^{2} - 1 = 0 $. 设该方程的根
是 $ a $、$ 2a $, $\therefore a + 2a = 2m $, $ a \cdot 2a = m^{2} - 1 $, 解得 $ a = 2 $, $ m = 3 $ 或
$ a = -2 $, $ m = -3 $ (不合题意, 舍去). $\therefore m $ 的值为 3.

11. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-(k+3)x+3k= 0 $.
(1) 求证:无论 $ k $ 取任何实数,该方程总有实数根;
(2) 若等腰三角形的三边长分别为 $ a $、$ b $、$ c $,其中 $ a= 1 $,并且 $ b $、$ c $ 恰好是此方程的两个实数根,求此三角形的周长.7
(1) 证明: $\because x^{2} - (k + 3)x + 3k = 0 $, $\therefore b^{2} - 4ac = [-(k + $
$ 3)]^{2} - 12k = k^{2} + 6k + 9 - 12k = k^{2} - 6k + 9 = (k - 3)^{2} \geq 0 $.
$\therefore$ 无论 $ k $ 取任何实数, 方程总有实数根; (2) 解: 当 $ b = c $ 时,
$ k = 3 $, 方程为 $ x^{2} - 6x + 9 = 0 $, 解得 $ x_{1} = x_{2} = 3 $, 此时三边长为
1, 3, 3, 周长为 $ 1 + 3 + 3 = 7 $; 当 $ a = b = 1 $ 或 $ a = c = 1 $ 时, 把 $ x = 1 $
代入方程得 $ 1 - (k + 3) + 3k = 0 $, 解得 $ k = 1 $, 此时方程为 $ x^{2} -$
$ 4x + 3 = 0 $, 解得 $ x_{1} = 3 $, $ x_{2} = 1 $, 此时三边长为 1, 1, 3, 不能组成
三角形. 综上所述, 三角形 ABC 的周长为 7.

答案：
(1) 证明: $\because x^{2} - (k + 3)x + 3k = 0 $, $\therefore b^{2} - 4ac = [-(k + $
$ 3)]^{2} - 12k = k^{2} + 6k + 9 - 12k = k^{2} - 6k + 9 = (k - 3)^{2} \geq 0 $.
$\therefore$ 无论 $ k $ 取任何实数, 方程总有实数根;
(2) 解: 当 $ b = c $ 时,
$ k = 3 $, 方程为 $ x^{2} - 6x + 9 = 0 $, 解得 $ x_{1} = x_{2} = 3 $, 此时三边长为
1, 3, 3, 周长为 $ 1 + 3 + 3 = 7 $; 当 $ a = b = 1 $ 或 $ a = c = 1 $ 时, 把 $ x = 1 $
代入方程得 $ 1 - (k + 3) + 3k = 0 $, 解得 $ k = 1 $, 此时方程为 $ x^{2} -$
$ 4x + 3 = 0 $, 解得 $ x_{1} = 3 $, $ x_{2} = 1 $, 此时三边长为 1, 1, 3, 不能组成
三角形. 综上所述, 三角形 ABC 的周长为 7.