《2025年轻松作业本九年级数学上册苏科版》

7. 如图,$\odot O的半径为2$,点$O到直线l的距离为3$,$P是直线l$上的一个动点,$PQ切\odot O于点Q$,则$PQ$的最小值为 (B)

A. $\sqrt{13}$
B. $\sqrt{5}$
C. $3$
D. $2$

答案： B

8. 如图,在平面直角坐标系中,已知$A(8,0)$,$C(0,9)$,点$P$在第一象限,$\odot P与x$轴、$y$轴都相切,且经过矩形$OABC的顶点B$,与$AB$、$BC$分别相交.则圆心$P$的坐标为 (B)

A. $(6,6)$
B. $(5,5)$
C. $(5,6)$
D. $(4,5)$

答案： B

9. 如图,一把宽为$2\mathrm{cm}$的刻度尺在圆形光盘上移动,当刻度尺的一边与光盘相切时,另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“$2$”和“$10$”(单位:$\mathrm{cm}$),那么该光盘的直径是10$\mathrm{cm}$.

答案： 10

10. (2024·包头)如图,四边形$ABCD是\odot O$的内接四边形,点$O在四边形ABCD$内部,过点$C作\odot O的切线交AB的延长线于点P$,连接$OA$、$OB$.若$∠AOB= 140^{\circ}$,$∠BCP= 35^{\circ}$,则$∠ADC$的度数为$105^{\circ}$.

答案： $105^{\circ}$

11. 如图,$AB是\odot O$的直径,$F为\odot O$上一点,$AC平分∠FAB交\odot O于点C$,过点$C作CD⊥AF交AF的延长线于点D$.
(1) 求证:$CD是\odot O$的切线;
(2) 若$DC= 3$,$AD= 9$,求$\odot O$的半径为5.

答案：
(1) 证明: 连接 $OC$，$\because AC$ 平分 $\angle FAB$，$\therefore \angle FAC = \angle CAO$。$\because AO = CO$，$\therefore \angle ACO = \angle CAO$。$\therefore \angle FAC = \angle ACO$。$\therefore AD // OC$。$\because CD \perp AF$，$\therefore CD \perp OC$。$\because OC$ 为半径，$\therefore CD$ 是 $\odot O$ 的切线；
(2) 解: 过点 $O$ 作 $OE \perp AF$ 于点 $E$，$\therefore AE = EF = \frac{1}{2} AF$，$\angle OED = \angle EDC = \angle OCD = 90^{\circ}$。$\therefore$ 四边形 $OEDC$ 为矩形。$\therefore CD = OE = 3$，$DE = OC$。设 $\odot O$ 的半径为 $r$，则 $OA = OC = DE = r$，$\therefore AE = 9 - r$。$\because OA^{2} - AE^{2} = OE^{2}$，$\therefore r^{2} - (9 - r)^{2} = 3^{2}$，解得 $r = 5$。$\therefore \odot O$ 的半径为 5。

12. 如图,点$D在△ABC的边AC$上,且$AB= AD$,以$AB为直径的\odot O与BC$相切,与$AC相交于点E$,与$BD相交于点F$.
(1) 求证:$∠BAD= 2∠DBC$;
(2) 当$AD= 3$,$CD= 2$时,求$BD$的长.

答案：

(1) 证明: 如图，连接 $AF$。$\because AB$ 为 $\odot O$ 的直径，$\therefore \angle AFB = 90^{\circ}$。$\therefore AF \perp BD$，$\angle BAF + \angle ABF = 90^{\circ}$。$\because AB = AD$，$\therefore AF$ 平分 $\angle BAD$，即 $\angle BAD = 2 \angle BAF$。$\because$ 以 $AB$ 为直径的 $\odot O$ 与 $BC$ 相切，$\therefore AB \perp BC$。$\therefore \angle ABC = 90^{\circ}$，即 $\angle ABF + \angle DBC = 90^{\circ}$。$\because \angle BAF + \angle ABF = 90^{\circ}$，$\therefore \angle BAF = \angle DBC$。$\therefore \angle BAD = 2 \angle DBC$。
(2) 解: 如图，连接 $BE$。$\because AD = 3$，$CD = 2$，$\therefore AB = 3$，$AC = 5$。$\therefore$ 在 $Rt \triangle ABC$ 中，$BC = \sqrt{AC^{2} - AB^{2}} = 4$。$\because AB$ 为 $\odot O$ 的直径，$\therefore \angle AEB = 90^{\circ}$。$\because S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} BE \cdot AC = \frac{1}{2} AB \cdot BC$，$\therefore BE = \frac{AB \cdot BC}{AC} = \frac{3 \times 4}{5} = \frac{12}{5}$。$\therefore$ 在 $Rt \triangle ABE$ 中，$AE = \sqrt{AB^{2} - BE^{2}} = \frac{9}{5}$。$\therefore DE = AD - AE = \frac{6}{5}$。$\therefore$ 在 $Rt \triangle BDE$ 中，$BD = \sqrt{DE^{2} + BE^{2}} = \frac{6 \sqrt{5}}{5}$。