《2025年轻松作业本九年级数学上册苏科版》

9. 如图,在矩形ABCD中,$AB= 5$,$AD= 12$,若以点D为圆心,12为半径作$\odot D$,则下列各点在$\odot D$外的是(B)

A. 点A
B. 点B
C. 点C
D. 点D

答案： B

10. 在平面直角坐标系中,点$A(0,3)$,点$B(4,0)$,则点$O(0,0)$在以AB为直径的圆上。

答案： 上

11. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ}$,$AC= 6$,$AB= 10$,CD是斜边AB上的中线,以AC为直径作$\odot O$,设线段CD的中点为P,则点P与$\odot O$的位置关系是点 P 在⊙O 内。

答案： 点 P 在⊙O 内

12. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC= 4$,D是线段BC的中点,以AB为直径作$\odot O$,试判断点D与$\odot O$的位置关系。

解：点 D 在⊙O 上。理由：连接 OD。∵ 易知 BD = DC，BO = OA，∴ OD 是△BAC 的中位线。∴ OD = $\frac{1}{2}AC$。∵ AB = AC = 4，∴ OD = $\frac{1}{2}AB = 2$。∴ 点 D 在⊙O 上。

答案： 解：点 D 在⊙O 上。理由：连接 OD。
∵ 易知 BD = DC，BO = OA，
∴ OD 是△BAC 的中位线。
∴ OD = $\frac{1}{2}AC$。
∵ AB = AC = 4，
∴ OD = $\frac{1}{2}AB = 2$。
∴ 点 D 在⊙O 上。

13. 如图,矩形ABCD的边$AB= 3cm$,$AD= 4cm$。
(1) 以点A为圆心,4 cm为半径作$\odot A$,则点B、C、D与$\odot A$的位置关系如何？
点B在⊙A内，点D在⊙A上，点C在⊙A外；
(2) 若以点A为圆心作$\odot A$,使B、C、D三点中至少有一个点在圆内,且至少有一个点在圆外,则$\odot A$的半径r的取值范围是什么？
3 cm ＜ r ＜ 5 cm

答案： 解：
(1) 连接 AC，
∵ AB = 3 cm，AD = 4 cm，
∴ AC = 5 cm。
∴ 点 B 在⊙A 内，点 D 在⊙A 上，点 C 在⊙A 外；
(2)
∵ 以点 A 为圆心作⊙A，使 B、C、D 三点中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，
∴ ⊙A 的半径 r 的取值范围是 3 cm ＜ r ＜ 5 cm。

14. 如图,E是菱形ABCD内一点,$\angle BEC= 90^{\circ}$,$DF\perp CE$,垂足为F,且$DF= CE$,连接AE。
(1) 求证：菱形ABCD是正方形；
(2) 当F是线段CE的中点时,求证：点F在以AB为半径的$\odot A$上。

答案：
(1) 证明：
∵ DF ⊥ CE，
∴ ∠CFD = 90°。
∴ ∠CDF + ∠FCD = 90°。
∵ ∠BEC = 90°，
∴ ∠BEC = ∠CFD。
∵ 四边形 ABCD 为菱形，
∴ BC = CD。在 Rt△BCE 和 Rt△CDF 中，$\begin{cases}BC = CD,\\CE = DF,\end{cases}$
∴ Rt△BCE ≌ Rt△CDF (HL)。
∴ ∠BCE = ∠CDF。
∴ ∠BCE + ∠FCD = 90°。
∴ ∠BCD = 90°。
∴ 菱形 ABCD 为正方形；
(2) 连接 AF、ED，
∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴ ∠ADC = 90°，AD = CD。
∵ F 为 CE 的中点，DF ⊥ CE，
∴ DF 是 CE 的垂直平分线。
∴ DE = DC = AD。
∴ ∠DAE = ∠DEA，∠DEC = ∠DCE。
∵ ∠DAE + ∠DEA + ∠ADE = 180°，∠DEC + ∠DCE + ∠CDE = 180°，
∴ ∠AED = $\frac{180° - ∠ADE}{2}$，∠DEC = $\frac{180° - ∠CDE}{2}$。
∴ ∠AEF = ∠AED + ∠DEC = 180° - $\frac{1}{2}(∠ADE + ∠CDE)$ = 180° - 45° = 135°。
∴ ∠AEB = 360° - 135° - 90° = 135°。
∴ ∠AEF = ∠AEB。
∵ △BCE ≌ △CDF，
∴ BE = CF = FE。在△ABE 和△AFE 中，$\begin{cases}AE = AE,\\∠AEB = ∠AEF,\\EB = EF,\end{cases}$
∴ △ABE ≌ △AFE (SAS)。
∴ AB = AF。
∴ 点 F 在以 AB 为半径的⊙A 上。