《2025年轻松作业本九年级数学上册苏科版》

8. 解下列方程:
(1)$(x-3)^{2}= 3x(x-3)$;$ x_{1}=3 $，$ x_{2}=-\frac{3}{2} $
(2)$(3x+2)(x+3)= x+14$;$ x_{1}=\frac{2}{3} $，$ x_{2}=-4 $
(3)$x^{2}+5x-6= 0$;$ x_{1}=1 $，$ x_{2}=-6 $
(4)$3x^{2}-3x= 4(x-1)$;$ x_{1}=1 $，$ x_{2}=\frac{4}{3} $

答案：
(1) $ x_{1}=3 $，$ x_{2}=-\frac{3}{2} $
(2) $ x_{1}=\frac{2}{3} $，$ x_{2}=-4 $
(3) $ x_{1}=1 $，$ x_{2}=-6 $
(4) $ x_{1}=1 $，$ x_{2}=\frac{4}{3} $

9. 阅读材料:
为解方程$(x^{2}-1)^{2}-3(x^{2}-1)= 0$,我们可以将$(x^{2}-1)$视为一个整体,然后设$x^{2}-1= y$,将原方程化为$y^{2}-3y= 0$①,解得$y_{1}= 0,y_{2}= 3.$
当$y= 0$时,$x^{2}-1= 0,\therefore x^{2}= 1.\therefore x= \pm 1.$
当$y= 3$时,$x^{2}-1= 3,\therefore x^{2}= 4,\therefore x= \pm 2.$
∴ 原方程的解为$x_{1}= 1,x_{2}= -1,x_{3}= 2,x_{4}= 2.$
由原方程得到①的过程,利用换元法达到了简化方程的目的,体现了整体转化的数学思想.
阅读后解答问题:
(1) 利用上述材料中的方法解方程:$(x^{2}+2x)^{2}-(x^{2}+2x)-2= 0;$
解：令 $ x^{2}+2x=m $，则 $ m^{2}-m-2=0 $，$ \therefore (m-2)(m+1)=0 $。$ \therefore m-2=0 $ 或 $ m+1=0 $，解得 $ m=2 $ 或 $ m=-1 $。当 $ m=2 $ 时，$ x^{2}+2x=2 $，即 $ x^{2}+2x-2=0 $，解得 $ x_{1}=$$-1+\sqrt{3}$，$ x_{2}=$$-1-\sqrt{3}$；当 $ m=-1 $ 时，$ x^{2}+2x=-1 $，即 $ x^{2}+2x+1=0 $，解得 $ x_{3}=x_{4}=$$-1$。综上所述，原方程的解为 $ x_{1}=-1+\sqrt{3} $，$ x_{2}=-1-\sqrt{3} $，$ x_{3}=x_{4}=-1 $；
(2) 已知一元二次方程$a(x+m)^{2}+n= 0$的两根分别为-3和1,则方程$a(2x+m-4)^{2}+n= 0(a≠0)$的两根分别是什么? 请说明理由.
解：$ \because $ 一元二次方程 $ a(x+m)^{2}+n=0 $ 的两根分别为 -3 和 1，$ \therefore $ 方程 $ a(2x+m-4)^{2}+n=0(a \neq 0) $ 中 $ 2x-4=-3 $ 或 $ 2x-4=1 $，解得 $ x=$$\frac{1}{2}$或$\frac{5}{2}$，即方程 $ a(2x+m-4)^{2}+n=0(a \neq 0) $ 的两根分别是 $ \frac{1}{2} $ 和 $ \frac{5}{2} $。

答案： 解：
(1) 令 $ x^{2}+2x=m $，则 $ m^{2}-m-2=0 $，$ \therefore (m-2)(m+1)=0 $。$ \therefore m-2=0 $ 或 $ m+1=0 $，解得 $ m=2 $ 或 $ m=-1 $。当 $ m=2 $ 时，$ x^{2}+2x=2 $，即 $ x^{2}+2x-2=0 $，解得 $ x_{1}=-1+\sqrt{3} $，$ x_{2}=-1-\sqrt{3} $；当 $ m=-1 $ 时，$ x^{2}+2x=-1 $，即 $ x^{2}+2x+1=0 $，解得 $ x_{3}=x_{4}=-1 $。综上所述，原方程的解为 $ x_{1}=-1+\sqrt{3} $，$ x_{2}=-1-\sqrt{3} $，$ x_{3}=x_{4}=-1 $；
(2) $ \because $ 一元二次方程 $ a(x+m)^{2}+n=0 $ 的两根分别为 -3 和 1，$ \therefore $ 方程 $ a(2x+m-4)^{2}+n=0(a \neq 0) $ 中 $ 2x-4=-3 $ 或 $ 2x-4=1 $，解得 $ x=\frac{1}{2} $ 或 $ \frac{5}{2} $，即方程 $ a(2x+m-4)^{2}+n=0(a \neq 0) $ 的两根分别是 $ \frac{1}{2} $ 和 $ \frac{5}{2} $。