《2025年轻松作业本九年级数学上册苏科版》

9. 如图,$\triangle ABC的内切圆\odot O与AB$、$BC$、$AC分别相切于点D$、$E$、$F$,$\angle B = 90^{\circ}$,$AB = 6$,$BC = 8$,则$\triangle ABC的内切圆半径r$为 (C)

A. 4
B. 3
C. 2
D. 1

答案： C

10. 如图,点$O是\triangle ABC$的内心,过点$O作EF// AB$,与$AC$、$BC分别交于点E$、$F$,则$EF与AE + BF的大小关系为EF$=$AE + BF$(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”).

答案： =

11. 如图,点$I为\triangle ABC$的内心,连接$AI$并延长,交$\triangle ABC的外接圆于点D$,点$E为弦AC$的中点,连接$CD$、$EI$、$IC$,当$AI = 2CD$,$IC = 6$,$ID = 5$时,$IE$的长为______.

答案：
4 点拨:延长ID到点M,使DM=ID,连接CM.
∵I是△ABC的内心，
∴∠IAC=∠IAB,∠ICA=∠ICB.
∵∠DIC=∠IAC+∠ICA,∠DCI=∠BCD+∠ICB,∠BCD=∠IAB,
∴∠DIC=∠DCI.
∴DI=DC=DM.
∴易得∠ICM=90°.
∴CM= $\sqrt{IM²−IC²}$=8.
∵AI=2CD=10,
∴AI=IM.
∵AE=EC,
∴IE是△ACM的中位线.
∴IE=$\frac{1}{2}$CM=4.

12. 如图,点$E是\triangle ABC$的内心,$AE的延长线和\triangle ABC的外接圆相交于点D$,连接$BE$.
(1) 若$\angle CBD = 34^{\circ}$,求$\angle BEC$的度数;124°
(2) 求证:$DE = DB$.证明:∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD,∠ABE=∠CBE.由圆周角定理，得∠DAC=∠DBC.∵∠DBE=∠DBC+∠EBC,∠DEB=∠EBA+∠EAB,∴∠DBE=∠DEB.∴DE=DB.

答案：
(1) 解:
∵点E是△ABC的内心，
∴AE平分∠BAC,BE 平分∠ABC，CE平分∠ACB.
∵∠CBD=34°,
∴∠CAD=∠CBD=34°.
∴∠BAC=2∠CAD=68°.
∴∠ABC+∠ACB=180°−68°=112°.
∴∠ABE+∠ACE=$\frac{1}{2}$×112°=56°.
∴∠BEC=∠BAC+∠ABE+∠ACE=68°+56°=124°;
(2) 证明:
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD,∠ABE=∠CBE.由圆周角定理，得∠DAC=∠DBC.
∵∠DBE=∠DBC+∠EBC,∠DEB=∠EBA+∠EAB,
∴∠DBE=∠DEB.
∴DE=DB.

13. 如图,$\odot I是\triangle ABC$的内切圆,与$AB$、$BC$、$CA分别相切于点F$、$D$、$E$,连接$BI$、$CI$、$FD$、$ED$.
(1) 若$\angle A = 40^{\circ}$,求$\angle BIC与\angle FDE$的度数;$\angle BIC=$110°，$\angle FDE=$70°
(2) 若$\angle BIC = \alpha$,$\angle FDE = \beta$,试猜想$\alpha$、$\beta$之间的数量关系,并证明你的结论.数量关系为$\alpha=180^{\circ}-\beta$

答案：
(1) 解:
∵⊙I是△ABC的内切圆，
∴∠IBC=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠ICB=$\frac{1}{2}$∠ACB.
∴∠IBC+∠ICB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB).
∵∠ABC+∠ACB=180°−∠A=140°,
∴∠IBC+∠ICB=70°.
∴∠BIC=180°−(∠IBC+∠ICB)=110°.连接IF、IE,
∵⊙I是△ABC的内切圆，
∴∠IFA=∠IEA=90°.
∵∠A=40°,
∴∠FIE=360°−∠IFA−∠IEA−∠A=140°.
∴∠EDF=$\frac{1}{2}$∠EIF=70°;
(2) α=180°−β. 证明:由圆周角定理得∠FIE=2∠FDE,由
(1)知2∠FDE=180°−∠A,
∴∠A=180°−2∠FDE=180°−2β,∠BIC=180°−(∠IBC+∠ICB)=180°−$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=180°−$\frac{1}{2}$(180°−∠A)=90°+$\frac{1}{2}$∠A,
∴∠BIC=α=90°+$\frac{1}{2}$(180°−2β),即α=180°−β.

14. 如图,$AB为\odot O$的直径,$\triangle ABC内接于\odot O$,$BC ＞ AC$,点$P是\triangle ABC$的内心,延长$CP交\odot O于点D$,连接$BP$,$BD$.
(1) 求证:$BD = PD$;
(2) 若$\odot O的半径是3\sqrt{2}$,$CD = 8$,求$BC$的长.

(1) 证明:∵AB为直径，∴∠ACB=90°.∵点P是△ABC的内心，∴∠ACD=∠BCP=45°,∠CBP=∠EBP.∴∠ABD=∠ACD=45°.∵∠DPB=∠BCP+∠CBP=45°+∠CBP,∠DBP=∠ABD+∠EBP=45°+∠EBP,∴∠DPB=∠DBP.∴BD=DP;
(2) 解:连接AD,过点B作BH⊥CD于点H，∵AB是直径，∠ABD=45°,∴AB=6$\sqrt{2}$,△ABD是等腰直角三角形.∴BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×6$\sqrt{2}$=6.∵∠BCD=45°,BH⊥CD,∴∠BCH=∠CBH=45°.∴BH=CH.∴BC=$\sqrt{2}$BH.∵BD²=DH²+BH²,∴36=(8−BH)²+BH².∴BH=4± $\sqrt{2}$.∴BC=4$\sqrt{2}$±2.又∵BC＞AC,AC²+BC²=AB²=72,∴BC＞6.∴BC=4$\sqrt{2}$+2.

答案：
(1) 证明:
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°.
∵点P是△ABC的内心，
∴∠ACD=∠BCP=45°,∠CBP=∠EBP.
∴∠ABD=∠ACD=45°.
∵∠DPB=∠BCP+∠CBP=45°+∠CBP,∠DBP=∠ABD+∠EBP=45°+∠EBP,
∴∠DPB=∠DBP.
∴BD=DP;
(2) 解:连接AD,过点B作BH⊥CD于点H，
∵AB是直径，∠ABD=45°,
∴AB=6$\sqrt{2}$,△ABD是等腰直角三角形.
∴BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×6$\sqrt{2}$=6.
∵∠BCD=45°,BH⊥CD,
∴∠BCH=∠CBH=45°.
∴BH=CH.
∴BC=$\sqrt{2}$BH.
∵BD²=DH²+BH²,
∴36=(8−BH)²+BH².
∴BH=4± $\sqrt{2}$.
∴BC=4$\sqrt{2}$±2.又
∵BC＞AC,AC²+BC²=AB²=72,
∴BC＞6.
∴BC=4$\sqrt{2}$+2.