《2025年轻松作业本九年级数学上册苏科版》

20. 如图,把两个扇形OAB与扇形OCD的圆心重合叠放在一起,且$∠AOB= ∠COD$,连接AC、BD.
(1) 求证:$\triangle AOC\cong \triangle BOD$;
证明：∵∠AOB=∠COD，∴∠DOB=∠COA。∵OA=OB，OC=OD，∴△AOC≌△BOD(SAS)；
(2) 若$OA= 5cm,OC= 3cm,\widehat {AB}的长为3πcm,\widehat {CD}的长为1.8πcm$,求阴影部分的面积;
解：∵△AOC≌△BOD，∴S_{阴影}=S_{扇形OAB}−S_{扇形OEF}=S_{扇形OAB}−S_{扇形OCD}=$\frac{1}{2}$×3π×5−$\frac{1}{2}$×1.8π×3=7.5π−2.7π=4.8π(cm²)；
(3) 在(2)的条件下求由扇形OAB围成的圆锥的高.
解：设圆锥底面半径为r cm，高为h cm，则2πr=3π，∴r=$\frac{3}{2}$。∴h=$\sqrt{5^{2}-(\frac{3}{2})^{2}}$=$\frac{\sqrt{91}}{2}$(cm)。答：由扇形OAB围成的圆锥的高为$\frac{\sqrt{91}}{2}$cm。

答案：
(1) 证明：
∵∠AOB=∠COD，
∴∠DOB=∠COA。
∵OA=OB，OC=OD，
∴△AOC≌△BOD(SAS)；
(2) 解：
∵△AOC≌△BOD，
∴S_{阴影}=S_{扇形OAB}−S_{扇形OEF}=S_{扇形OAB}−S_{扇形OCD}=$\frac{1}{2}$×3π×5−$\frac{1}{2}$×1.8π×3=7.5π−2.7π=4.8π(cm²)；
(3) 解：设圆锥底面半径为r cm，高为h cm，则2πr=3π，
∴r=$\frac{3}{2}$。
∴h=$\sqrt{5^{2}-(\frac{3}{2})^{2}}$=$\frac{\sqrt{91}}{2}$(cm)。答：由扇形OAB围成的圆锥的高为$\frac{\sqrt{91}}{2}$cm。

21. 问题提出
学习了三角形的角平分线的定义之后,我们把三角形的三条内角平分线的交点叫做三角形的内心.
(1) 如图①,已知$\triangle ABC$的周长和面积都为30,点O是$\triangle ABC$的内心,则点O到AB边的距离为______.
问题探究
(2) 如图②,在四边形ABCD中,$AB= 4,∠DAB= ∠ABC= 90^{\circ }$,以AB为边作等边三角形ABE,使得点E在边CD上且$∠BEC= 30^{\circ }$,点F是等边三角形ABE的内心,求点F到CD边的距离.
问题解决
(3) 如图③所示的四边形ABCD为某公园的平面图,市政府计划在公园内部修建一个三角形广场即$\triangle ABE$,点E到AB的距离为60 m,在广场$\triangle ABE$的边上装满彩灯,并在$\triangle ABE$的内心F处修建喷泉供人们观赏,现需从喷泉F处到CD边上修建一条最短的地下水渠以便抽水.已知$AB= 2BC= 80m,AD= 100m,∠DAB= ∠ABC= 90^{\circ }$,据了解,彩灯每米30元,修建水渠每米60元,当彩灯费用最少时,装满彩灯和修建水渠的总花费是______(结果保留根号).

答案：

(1) 2
(2) 如图①，作FH⊥CD，FG⊥AE，连接EF、AF，
∴∠FHE=∠FGE=90°。
∵∠AEC=90°，
∴四边形EGFH是矩形。
∴FH=EG。
∵点F是等边三角形ABE的内心，
∴点F也是△ABE的外心，∠AEF=$\frac{1}{2}$∠AEB=30°。
∴FE=FA。
∴AG=EG=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$AB=2。
∴FH=2，即点F到CD边的距离为2；
(3) 如图②，过点E作直线l//AB，作点B关于l的对称点W，连接AW，交l于点E'，当点E在点E'时，AE+BE=AW，此时AE+BE最小，此时AE=BE。在Rt△ABW中，BW=2×60=120(m)，AB=80m，
∴AW=$\sqrt{120^{2}+80^{2}}$=40$\sqrt{13}$(m)，AQ=BQ。
∴AB+BE'+AE'=(40$\sqrt{13}$+80)m。
∴(80+40$\sqrt{13}$)×30=(2400+1200$\sqrt{13}$)元。如图③，连接BF、DF、AF、EF，作FQ⊥AB于点Q，作FT⊥CD于点T，作FV⊥BC于点V，作FX⊥AD于点X，作CS⊥AD于点S。在Rt△CDS中，CS=AB=80m，DS=AD−AS=AD−BC=100−40=60(m)，
∴CD=100m。
∵F是等腰三角形ABE的内心，
∴点E、F、Q共线。
∴BQ=AQ=$\frac{1}{2}$AB=40m。同理
(1)可得，FQ=$\frac{2\cdot S_{\triangle ABE}}{AB+AE+BE}$=$\frac{2\times\frac{1}{2}\times80\times60}{80+40\sqrt{13}}$=$\frac{40(\sqrt{13}-2)}{3}$m，由S_{△CDF}+S_{△BCF}+S_{△ABF}+S_{△ADF}=S_{梯形ABCD}，得$\frac{1}{2}$CD·FT+$\frac{1}{2}$BC·FV+$\frac{1}{2}$AB·FQ+$\frac{1}{2}$AD·FX=$\frac{1}{2}$(AD+BC)·AB，
∴100FT+40×40+80×$\frac{40(\sqrt{13}-2)}{3}$+100×40=(40+100)×80，
∴FT=$\frac{232-32\sqrt{13}}{3}$m。
∴60×$\frac{232-32\sqrt{13}}{3}$=(4640−640$\sqrt{13}$)元。
∴装满彩灯和修建水渠的总花费是(2400+1200$\sqrt{13}$)+(4640−640$\sqrt{13}$)=(7040+560$\sqrt{13}$)元。