《2025年轻松作业本九年级数学上册苏科版》

10. 若一个矩形的长边的平方等于短边与其周长一半的积,则称这样的矩形为“优美矩形”.某公园在绿化时,工作人员想利用如图所示的直角墙角(两边足够长)和长为38m的篱笆围成一个“优美矩形”形状的花园ABCD,其中边AB、AD为篱笆且AB＞AD.设AD为xm,依题意可列方程为______$(38 - x)^{2} = 38x$.

答案： $(38 - x)^{2} = 38x$

11. 若关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$的一根为x= 2025,则关于x的方程$a(x+2)^{2}+bx= -2b-c$的一根为2023.

答案： $x = 2023$

12. 把下列关于x的一元二次方程化成一般形式,再写出它们的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1) $(x-4)(x+1)= 12$;$x^{2} - 3x - 16 = 0$，它的二次项系数为1、一次项系数为$-3$、常数项为$-16$
(2) $(x-2)(x+2)-2x^{2}= 4x-3$;$-x^{2} - 4x - 1 = 0$，它的二次项系数为$-1$、一次项系数为$-4$、常数项为$-1$
(3) $3x(x+3)= 2(x-2)$;$3x^{2} + 7x + 4 = 0$，它的二次项系数为3、一次项系数为7、常数项为4
(4) $4(x-1)^{2}= (x-2)^{2}$.$3x^{2} - 4x = 0$，它的二次项系数为3、一次项系数为$-4$、常数项为0

答案： （1）$x^{2} - 3x - 16 = 0$，它的二次项系数为1、一次项系数为$-3$、常数项为$-16$
（2）$-x^{2} - 4x - 1 = 0$，它的二次项系数为$-1$、一次项系数为$-4$、常数项为$-1$
（3）$3x^{2} + 7x + 4 = 0$，它的二次项系数为3、一次项系数为7、常数项为4
（4）$3x^{2} - 4x = 0$，它的二次项系数为3、一次项系数为$-4$、常数项为0

13. 根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式.
(1) 4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x;4x²=25，一般形式为4x²-25=0
(2) 一个直角三角形的斜边长为10,两条直角边长相差2,求较长的直角边长x;x²+(x-2)²=10²，一般形式为2x²-4x-96=0
(3) 一块长方形铁皮的长为4dm,宽为3dm,在四角各截去一个面积相等的正方形,做成一个无盖的长方体盒子,要使盒子的底面积是原来铁皮面积的一半.设盒子的高为xdm;(4-2x)(3-2x)=4×3×1/2，一般形式为4x²-14x+6=0
(4) 在一幅长8dm、宽6dm的矩形风景画的四周镶宽度相同的金色纸边,制成一幅矩形挂图,要使整幅挂图的面积是80dm².设金色纸边的宽为xdm;(2x+6)(2x+8)=80，一般形式为4x²+28x-32=0

答案： 解：
（1）$4x^{2} = 25$ $4x^{2} - 25 = 0$
（2）$x^{2} + (x - 2)^{2} = 10^{2}$ $2x^{2} - 4x - 96 = 0$
（3）$(4 - 2x)(3 - 2x) = 4 \times 3 \times \frac{1}{2}$ $4x^{2} - 14x + 6 = 0$
（4）$(2x + 6)(2x + 8) = 80$ $4x^{2} + 28x - 32 = 0$

14. 关于x的方程$(m^{2}-8m+19)x^{2}-2mx-13= 0$是否一定是一元二次方程? 甲、乙两同学对此有不同意见.
甲认为:原方程中二次项系数与m有关,可能为0,所以不能确定这个方程就是一元二次方程;
乙认为:原方程中二次项系数$m^{2}-8m+19$肯定不会等于0,所以可以确定这个方程一定是一元二次方程.
你认为甲、乙两同学的意见哪个正确? 证明你的结论.

答案： 解：乙正确。证明：$\because m^{2} - 8m + 19 = m^{2} - 8m + 16 + 3 = (m - 4)^{2} + 3 \geq 3$，$\therefore$不可能等于0。$\therefore$可以确定这个方程一定是一元二次方程。$\therefore$乙正确。