《2025年轻松作业本九年级数学上册苏科版》

10. 已知$m$、$n是一元二次方程x^{2}+3x - 6 = 0$的两个根,则$m^{2}-mn + n + 4m$的值为(A)
A. 9
B. 6
C. 3
D. 0

答案： A

11. (2024·绥化)小影与小冬一起写作业,在解一道一元二次方程时,小影在化简过程中写错了常数项,因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数,因而得到方程的两个根是-2和-5。则原来的方程是(B)
A. $x^{2}+6x + 5 = 0$
B. $x^{2}-7x + 10 = 0$
C. $x^{2}-5x + 2 = 0$
D. $x^{2}-6x - 10 = 0$

答案： B

12. 关于$x的一元二次方程x^{2}-8x + m = 0的两根为x_{1}$、$x_{2}$,且$x_{1}= 3x_{2}$,则$m$的值为______12。

答案： 12

13. 如果关于$x的一元二次方程ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$有两个实数根,且其中一个根比另一个根大1,那么称这样的方程为“邻根方程”。已知关于$x的方程x^{2}-(m - 1)x - m = 0(m$是常数)是“邻根方程”,则$m$的值为0或$-2$。

答案： 0或$-2$ 点拨：设方程的两个根分别为$t$和$t + 1$，根据根与系数的关系得$t + t + 1 = m - 1$，$t(t + 1) = -m$，两式相加得$2t + 1 + t^2 + t = -1$，整理得$t^2 + 3t + 2 = 0$，解得$t_1 = -1$，$t_2 = -2$。当$t_1 = -1$时，$-1 - 1 + 1 = m - 1$，解得$m = 0$；当$t_2 = -2$时，$-2 - 2 + 1 = m - 1$，解得$m = -2$，即$m$的值为0或$-2$。

14. 已知斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长$a$、$b是方程x^{2}-(2m - 1)x + 4(m - 1)= 0$的两个根,求$m$的值。

答案： 解：由一元二次方程根与系数的关系，可得$a + b = 2m - 1$，$ab = 4(m - 1)$。由勾股定理可得$a^2 + b^2 = 5^2 = 25$。$\therefore (a + b)^2 - 2ab = (2m - 1)^2 - 8(m - 1) = 25$，解得$m_1 = 4$，$m_2 = -1$（不合题意，舍去）。$\therefore m$的值为4。

15. 已知关于$x的方程x^{2}-(k + 4)x + 2k + 4 = 0$。
(1)求证：不论$k$为何值,该方程总有两个实数根；
证明：$b^2 - 4ac = [-(k + 4)]^2 - 4(2k + 4) = k^2 + 8k + 16 - 8k - 16 = k^2$，$\because k^2 \geq 0$，$\therefore b^2 - 4ac \geq 0$。$\therefore x^2 - (k + 4)x + 2k + 4 = 0$总有两个实数根；
(2)设该方程的两个根为$x_{1}$、$x_{2}$,若$x_{1}+x_{2}= 7$,求$k$的值。
解：$\because x^2 - (k + 4)x + 2k + 4 = 0$的两个根为$x_1$、$x_2$，$\therefore x_1 + x_2 = k + 4$。$\because x_1 + x_2 = 7$，$\therefore k + 4 = 7$，解得$k = $3。

答案： （1）证明：$b^2 - 4ac = [-(k + 4)]^2 - 4(2k + 4) = k^2 + 8k + 16 - 8k - 16 = k^2$，$\because k^2 \geq 0$，$\therefore b^2 - 4ac \geq 0$。$\therefore x^2 - (k + 4)x + 2k + 4 = 0$总有两个实数根；
（2）解：$\because x^2 - (k + 4)x + 2k + 4 = 0$的两个根为$x_1$、$x_2$，$\therefore x_1 + x_2 = k + 4$。$\because x_1 + x_2 = 7$，$\therefore k + 4 = 7$，解得$k = 3$。

16. 已知关于$x的一元二次方程x^{2}-2x = k^{2}$($k$为常数)。
(1)求证：无论$k$取何值,方程总有两个不相等的实数根；
证明：$\because b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(-k^2) = 4k^2 + 4$，$\therefore \Delta ＞ 0$。$\therefore$ 不论$k$取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)设$x_{1}$、$x_{2}$为方程的两个实数根,且满足$(x_{1}-x_{2})^{2}= 12 - x_{1}x_{2}$,试求出$k$的值。
解：根据根与系数的关系得$x_1 + x_2 = 2$，$x_1x_2 = -k^2$，$\because (x_1 - x_2)^2 = 12 - x_1x_2$，$\therefore (x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2 = 12$。$\therefore 4 + 3k^2 = 12$。$\therefore k =$$\pm \frac{2}{3}\sqrt{6}$。

答案： （1）证明：$\because b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(-k^2) = 4k^2 + 4$，$\therefore \Delta ＞ 0$。$\therefore$ 不论$k$取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：根据根与系数的关系得$x_1 + x_2 = 2$，$x_1x_2 = -k^2$，$\because (x_1 - x_2)^2 = 12 - x_1x_2$，$\therefore (x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2 = 12$。$\therefore 4 + 3k^2 = 12$。$\therefore k = \pm \frac{2}{3}\sqrt{6}$。