《2025年轻松作业本九年级数学上册苏科版》

10. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2}-x-\frac{1}{4}= 0(a \neq 0) $ 有两个不相等的实数根,则点 $ P(a + 1,-a - 3) $ 在第四象限.

答案： 四

11. 若关于 $ x $ 的方程 $ |x^{2}-2x - 8| = m $ 有两个解,则实数 $ m $ 的取值范围是$ m = 0 $ 或 $ m ＞ 9 $.

答案： $ m = 0 $ 或 $ m ＞ 9 $
点拨：① 当 $ m = 0 $ 时，$ x^{2} - 2x - 8 = 0 $，解得 $ x = 4 $ 或 $ x = -2 $；② 当 $ m ＜ 0 $ 时，方程 $ |x^{2} - 2x - 8| = m $ 无解；③ 当 $ m ＞ 0 $ 时，$ x^{2} - 2x - 8 = m $ 或 $ x^{2} - 2x - 8 = -m $，当 $ x^{2} - 2x - 8 = m $ 时，$ x^{2} - 2x - 8 - m = 0 $，$ \Delta = 4 + 32 + 4m = 36 + 4m $，当 $ x^{2} - 2x - 8 = -m $ 时，$ x^{2} - 2x - 8 + m = 0 $，$ \Delta = 4 + 32 - 4m = 36 - 4m $，$ \because $ 方程有两个解，且 $ 36 + 4m ＞ 0 $，$ \therefore 36 - 4m ＜ 0 $，此时 $ m ＞ 9 $。综上所述，当 $ m = 0 $ 或 $ m ＞ 9 $ 时，方程有两个解。

12. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-2x + 2m - 1 = 0 $ 有实数根,且 $ m $ 为正整数,求 $ m $ 的值及此时方程的根.

答案： 解：$ \because $ 方程 $ x^{2} - 2x + 2m - 1 = 0 $ 有实数根，$ \therefore (-2)^{2} - 4(2m - 1) \geq 0 $，解得 $ m \leq 1 $。$ \because m $ 为正整数，$ \therefore m = 1 $。$ \therefore $ 原方程为 $ x^{2} - 2x + 1 = 0 $，解得 $ x_{1} = x_{2} = 1 $。

13. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}+(8 - 4m)x + 4m^{2}= 0 $.
(1) 若方程有两个相等的实数根,求 $ m $ 的值,并求出此时方程的根;
(2) 是否存在正数 $ m $,使方程的两个实数根的平方和等于 136? 若存在,请求出 $ m $ 的值;若不存在,请说明理由.

答案： 解：
(1) 若方程有两个相等的实数根，则有 $ b^{2} - 4ac = (8 - 4m)^{2} - 16m^{2} = 64 - 64m = 0 $，解得 $ m = 1 $。当 $ m = 1 $ 时，原方程为 $ x^{2} + 4x + 4 = 0 $，$ \therefore x_{1} = x_{2} = -2 $。
(2) 不存在。理由：假设存在，设方程的两个根为 $ x_{1} $、$ x_{2} $，则有 $ x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 136 $。$ \because x_{1} + x_{2} = 4m - 8 $，$ x_{1}x_{2} = 4m^{2} $，$ \therefore (x_{1} + x_{2})^{2} - 2x_{1}x_{2} = 136 $，即 $ (4m - 8)^{2} - 2 \times 4m^{2} = 136 $。$ \therefore m^{2} - 8m - 9 = 0 $。$ \therefore m_{1} = 9 $，$ m_{2} = -1 $。$ \because b^{2} - 4ac = (8 - 4m)^{2} - 16m^{2} = 64 - 64m \geq 0 $，且 $ m $ 为整数，$ \therefore 0 ＜ m \leq 1 $。$ \therefore m_{1} = 9 $，$ m_{2} = -1 $ 都不符合题意。$ \therefore $ 不存在正数 $ m $，使方程的两个实数根的平方和等于 136。

14. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (a + c)x^{2}+2bx+(a - c)= 0 $,其中 $ a、b、c $ 分别为 $ \triangle ABC $ 的三边的长.
(1) 如果 $ x = - 1 $ 是方程的根,试判断 $ \triangle ABC $ 的形状,并说明理由;等腰三角形
(2) 如果方程有两个相等的实数根,试判断 $ \triangle ABC $ 的形状,并说明理由;直角三角形
(3) 如果 $ \triangle ABC $ 是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.$ x_{1} = 0 $，$ x_{2} = -1 $

答案： 解：
(1) 把 $ x = -1 $ 代入方程得 $ 2a - 2b = 0 $，$ \therefore a = b $。$ \therefore \triangle ABC $ 是等腰三角形；
(2) $ \because $ 方程有两个相等的实数根，$ \therefore (2b)^{2} - 4(a + c)(a - c) = 0 $。$ \therefore b^{2} + c^{2} = a^{2} $。$ \therefore \triangle ABC $ 是直角三角形；
(3) $ \because \triangle ABC $ 是等边三角形，$ \therefore a = b = c $。$ \therefore $ 原方程变为 $ 2ax^{2} + 2ax = 0 $。$ \because a \neq 0 $，$ \therefore x_{1} = 0 $，$ x_{2} = -1 $。