《2025年轻松作业本九年级数学上册苏科版》

4. 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程$x^{2}-6x+8= 0$的两根,则该等腰三角形的底边长为(A)
A. 2
B. 4
C. 8
D. 2或4

答案： A

5. (2024·潍坊)已知关于x的一元二次方程$x^{2}-mx-n^{2}+mn+1= 0$,其中m、n满足$m-2n= 3$,关于该方程根的情况,下列判断正确的是(C)
A. 无实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根
D. 无法确定

答案： C

6. (2024·湖南)若关于x的一元二次方程$x^{2}-4x+2k= 0$有两个相等的实数根,则k的值为______2.

答案： 2

7. 菱形的两条对角线的长分别是方程$x^{2}-14x+48= 0$的两实根,则菱形的面积为24.

答案： 24

8. 已知关于x的一元二次方程$(x-3)(x-2)-m^{2}= 0$.
(1) 求证:无论m为何实数,方程总有两个不相等的实数根；
证明：整理原方程得，$x^{2}-5x+6-m^{2}=0$，$\therefore b^{2}-4ac=25-4(6-m^{2})=1+4m^{2}$。$\because$无论$m$为何实数，总有$4m^{2}\geq0$，从而$1+4m^{2}＞0$，即$b^{2}-4ac＞0$，$\therefore$无论$m$为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2) 若方程$(x-3)(x-2)-m^{2}= 0$的两个实数根α、β满足$α^{2}+β^{2}= 17$,求m的值.$\pm\sqrt{2}$

答案： （1）证明：整理原方程得，$x^{2}-5x+6-m^{2}=0$，$\therefore b^{2}-4ac=25-4(6-m^{2})=1+4m^{2}$。$\because$无论$m$为何实数，总有$4m^{2}\geq0$，从而$1+4m^{2}＞0$，即$b^{2}-4ac＞0$，$\therefore$无论$m$为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由（1）得方程$(x-3)(x-2)-m^{2}=0$整理得$x^{2}-5x+6-m^{2}=0$，$\because$方程$(x-3)(x-2)-m^{2}=0$的两个实数根$\alpha$、$\beta$，$\alpha+\beta=5$，$\alpha\beta=6-m^{2}$，$\therefore\alpha^{2}+\beta^{2}=(\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta=25-2(6-m^{2})=13+2m^{2}=17$。$\therefore$解得$m=\pm\sqrt{2}$。

9. 如图,某农户准备建一个长方形养鸡场,养鸡场的一边靠墙,若墙长为19m,墙对面有一个2m宽的门,另三边用竹篱笆围成,篱笆总长34m,围成的长方形养鸡场除门之外四周不能有空隙.
(1) 若要围成养鸡场的面积为$160m^{2}$,则养鸡场的长和宽各为多少米?
答：养鸡场的长为16m，宽为10m。
(2) 围成养鸡场的面积能否达到$180m^{2}$? 请说明理由.
答：围成养鸡场的面积不能达到$180m^{2}$。理由：根据题意，得$(34+2-2x)x=180$，整理得$x^{2}-18x+90=0$，$\because b^{2}-4ac=(-18)^{2}-4×1×90=-36＜0$。$\therefore$方程无解。

答案： 解：（1）设垂直于墙的一边长为$x$m，则平行于墙的一边长为$(34+2-2x)$m。根据题意，得$(34+2-2x)x=160$，整理得$x^{2}-18x+80=0$，解得$x_{1}=8$，$x_{2}=10$。当$x_{1}=8$时，$34+2-2x=36-2\times8=20＞19$，不符合题意，舍去。当$x_{2}=10$时，$34+2-2x=36-2\times10=16＜19$，符合题意。答：养鸡场的长为 16 m，宽为 10 m。
（2）围成养鸡场的面积不能达到$180m^{2}$。理由：根据题意，得$(34+2-2x)x=180$，整理得$x^{2}-18x+90=0$，$\because b^{2}-4ac=(-18)^{2}-4\times1\times90=-36＜0$。$\therefore$方程无解。答：围成养鸡场的面积不能达到$180m^{2}$。

10. 已知$y^{2}-2x+4= 0$,则$x^{2}+y^{2}+2x$的最小值是(B)
A. 8
B. -8
C. -9
D. 9

答案： B