《2025年轻松作业本九年级数学上册苏科版》

6. 根据你的观察,探究下列问题：
(1) 已知$x^{2}-2xy+2y^{2}+6y+9= 0$,求 xy 的值；9
(2) 已知$\triangle ABC$的三边长 a、b、c 都是正整数,且满足$a^{2}+b^{2}-10a-12b+61= 0$,求$\triangle ABC$的最大边 c 的值；6、7、8、9、10
(3) 已知$a-b= 8$,$ab+c^{2}-16c+80= 0$,求$a+b+c$的值.8

答案： 解:
(1) $\because x^{2}-2 x y+2 y^{2}+6 y+9=0, \therefore\left(x^{2}-2 x y+\right.$ $y^{2})+\left(y^{2}+6 y+9\right)=0. \therefore(x-y)^{2}+(y+3)^{2}=0. \therefore x-y=$ $0, y+3=0. \therefore x=-3, y=-3. \therefore x y=(-3) \times(-3)=9 ;$
(2) $\because a^{2}+b^{2}-10 a-12 b+61=0, \therefore\left(a^{2}-10 a+25\right)+\left(b^{2}-\right.$ $12 b+36)=0. \therefore(a-5)^{2}+(b-6)^{2}=0. \therefore a-5=0, b-6=0.$ $\therefore a=5, b=6. \because 6-5＜c＜6+5, c \geqslant 6, \therefore 6 \leqslant c＜11.$ $\therefore \triangle ABC$ 的最大边 $c$ 的值可能是 $6 、 7 、 8 、 9 、 10$;
(3) $\because a-$ $b=8, a b+c^{2}-16 c+80=0, \therefore a(a-8)+16+(c-8)^{2}=0$. $\therefore(a-4)^{2}+(c-8)^{2}=0. \therefore a-4=0, c-8=0. \therefore a=4, c=8$, 即 $b=a-8=4-8=-4. \therefore a+b+c=4-4+8=8$.

7. 已知 a、b 满足等式$x= a^{2}-6ab+9b^{2}$,$y= 4a-12b-4$,则 x、y 的大小关系是 (D)
A. $x= y$
B. $x＞y$
C. $x＜y$
D. $x≥y$

答案： D

8. 阅读下列材料：
利用完全平方公式,将多项式$x^{2}+bx+c$变形为$(x+m)^{2}+n$的形式.
例如：$x^{2}-8x+17= x^{2}-2\cdot x\cdot 4+4^{2}-4^{2}+17= (x-4)^{2}+1$.
(1) 填空：将多项式$x^{2}-2x+3$变形为$(x+m)^{2}+n$的形式,并判断$x^{2}-2x+3$与 0 的大小关系.
$\because x^{2}-2x+3= (x-$1$)^{2}+$2,
$\therefore x^{2}-2x+3$＞0(填“＞”“＜”或“=”).
(2) 如图①所示的矩形边长分别是$2a+5$、$3a+2$,求矩形的面积$S_{1}$(用含 a 的式子表示)；
如图②所示的矩形边长分别是 5a、$a+5$,求矩形的面积$S_{2}$(用含 a 的式子表示)；
(3) 比较(2)中$S_{1}与S_{2}$的大小,并说明理由.

答案： 解:
(1) 1 2 $＞$
(2) $S_{1}=(2 a+5)(3 a+2)=6 a^{2}+19 a+$ $10, S_{2}=5 a(a+5)=5 a^{2}+25 a$;
(3) $S_{1}＞S_{2}$ 理由: $S_{1}-$ $S_{2}=6 a^{2}+19 a+10-\left(5 a^{2}+25 a\right)=a^{2}-6 a+10=(a-3)^{2}+1$, $\because(a-3)^{2} \geqslant 0, \therefore(a-3)^{2}+1＞0. \therefore S_{1}-S_{2}＞0. \therefore S_{1}＞S_{2}$.