《2025年轻松作业本九年级数学上册苏科版》

1. 如图,已知空间站A与星球B的距离为a,信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶,B、C之间的距离为b.数据S表示飞船C与空间站A的实时距离,那么S的最大值是(C)
A. a
B. b
C. a + b
D. a - b

答案： C

2. 如图,在四边形ABCD中,DC//AB,BC = 1,AB = AC = AD = 2,则$BD^2$的值为(B)
A. 14
B. 15
C. 18
D. 12

答案： B

3. 如图,在四边形ABCD中,AB = AC = AD,∠BDC = 22°,则∠BAC = ______°.

44

答案： 44

4. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,E为AC边上的任意一点,把△BCE沿BE折叠,得到△BFE,连接AF.若BC = 6,AC = 8,则AF的最小值为4.

答案： 4

5. 如图,在四边形ABCD中,AE、AF分别是BC、CD的中垂线,∠EAF = 80°,∠CBD = 30°,则∠ABC = 40°,∠ADC = 60°.

答案： $40^{\circ}$ $60^{\circ}$

6. 如图,在Rt△ABC中,∠ABC = 90°,BC = 2,点D在AC边上运动,将△BCD沿BD翻折,点C的对应点为C',在点D从点C到点A的运动过程中,点C'运动的路径长为$2\pi$.

答案： $2\pi$

7. 如图①,将一把含45°角的直角三角尺ECF和一个正方形ABCD摆放在一起,使三角尺的直角顶点和正方形的顶点C重合,点E、F分别在正方形的边CB、CD上,连接AF.取AF的中点M,EF的中点N,连接MD、MN.
(1) 尝试探究:
结论1:DM、MN的数量关系是______DM=MN;
结论2:DM、MN的位置关系是______DM⊥MN;
(2) 猜想论证:证明你的结论;
(3) 拓展:如图②,将图①中的直角三角尺ECF绕点C顺时针旋转180°,其他条件不变,(1)中的两个结论还成立吗? 若成立,请加以证明;若不成立,请说明理由.

答案：
(1) $DM = MN$ $DM \perp MN$
(2) 证明: 连接 $AE$. $ \because M $ 是 $AF$ 的中点, $N$ 是 $EF$ 的中点, $ \therefore MN = \frac{1}{2}AE $. $ \because $ 四边形 $ABCD$ 是正方形, $ \therefore \angle ADF = \angle B = 90^{\circ}, AD = AB = BC = CD $. $ \therefore DM = \frac{1}{2}AF = AM = MF $. $ \because $ 由题意, 知 $ \triangle ECF $ 是等腰直角三角形, $ \therefore FC = EC $. $ \therefore CD - FC = BC - EC $, 即 $DF = BE$. 在 $ \triangle ADF $ 和 $ \triangle ABE $ 中, $ \left\{ \begin{array} { l } { AD = AB, } \\ { \angle ADF = \angle B, } \\ { DF = BE, } \end{array} \right. $ $ \therefore \triangle ADF \cong \triangle ABE $. $ \therefore AF = AE $. $ \therefore DM = MN $. 由上述可知, $AM = MN = MF = DM$, 则点 $A$、$N$、$F$、$D$ 在以点 $M$ 为圆心、$ \frac{1}{2}AF $ 长为半径的圆上. 连接 $AN$, 则易得 $ \angle NAD + \angle DFN = 180^{\circ} $, 又 $ \because \angle DFN + \angle NFC = 180^{\circ} $, $ \therefore \angle NAD = \angle NFC = 45^{\circ} $. $ \therefore \angle NMD = 2 \angle NAD = 90^{\circ} $. $ \therefore DM \perp MN $.
(3)
(1) 中的两个结论还成立. 连接 $AE$, 交 $MD$ 于点 $G$. $ \because M $ 是 $AF$ 的中点, $N$ 是 $EF$ 的中点, $ \therefore MN // AE, MN = \frac{1}{2}AE $. 同
(1), 可证 $ \triangle ADF \cong \triangle ABE $. $ \therefore AF = AE $. 在 $ \mathrm{Rt} \triangle ADF $ 中, $ \because M $ 是 $AF$ 的中点, $ \therefore DM = \frac{1}{2}AF $. $ \therefore DM = MN $. 同理, $AM = MN = MF = DM$, 则点 $A$、$F$、$N$、$D$ 在以点 $M$ 为圆心、$ \frac{1}{2}AF $ 长为半径的圆上, $ \therefore \angle NMD = 2 \angle NFD = 90^{\circ} $. $ \therefore DM \perp MN $.