《2025年轻松作业本九年级数学上册苏科版》

10. 若圆中一条弦的长等于其半径长,则这条弦所对的圆周角的度数是$30^{\circ}$或$150^{\circ}$.

答案： $30^{\circ}$或$150^{\circ}$

11. 如图,在$\odot O$中,弦CD与直径AB相交于点E,连接OC、BD.若$∠ABD= 20^{\circ },∠AED= 80^{\circ }$,则$∠COB$的度数为$120^{\circ}$.

答案： $120^{\circ}$

12. 如图,AB是$\odot O$的直径,AC是弦,半径$OD⊥AC$,连接CD、BC.求证:$∠BOD= 2∠D$.

答案：
证明:如图，连接AD，延长DO交$\odot O$于点E，则$\angle BOD=2\angle BAD,\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BE}.\because$半径$OD\perp AC,\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}.\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CD}.\therefore \overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{CD}$，即$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{BD}.\therefore \angle CDE=\angle BAD.\therefore \angle BOD=2\angle CDE$。
　　　　　　　　

13. 如图①,C、D是半圆ACB上的两点,若点P是直径AB上一点,且满足$∠APC= ∠BPD$,则称$∠CPD是\widehat {CD}$的“幸运角”.
(1) 如图②,若弦$CE⊥AB$,D是$\widehat {BC}$上的一点,连接DE交AB于点P,连接CP.求证:$∠CPD是\widehat {CD}$的“幸运角”；
(2) 如图③,若直径$AB= 2$,弦$CE⊥AB,\widehat {CD}$的“幸运角”为$90^{\circ }$,求CD的长.

答案：

(1) 证明: $\because AB$是直径，$CE\perp AB,\therefore AB$平分CE。$\therefore \triangle CEP$是等腰三角形。$\because CE\perp AB,\therefore \angle CPA=\angle EPA$。$\because \angle EPA=\angle BPD,\therefore \angle CPA=\angle BPD.\therefore \angle CPD$是$\overset{\frown}{CD}$的“幸运角”；
(2) 解:如图，连接OC、OD。$\because \overset{\frown}{CD}$的“幸运角”为$90^{\circ},\therefore \angle CPD=90^{\circ}.\therefore \angle APC=\angle BPD=\frac{1}{2}(180^{\circ}-90^{\circ})=45^{\circ}.\because CE\perp AB,\therefore \angle CED=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}.\therefore \angle COD=2\angle CED=90^{\circ}.\because AB=2,\therefore CO=DO=\frac{1}{2}AB=1.\therefore CD=\sqrt{OC^{2}+OD^{2}}=\sqrt{2}$。
　　　　　　　　

14. 如图,P为等边三角形ABC的外接圆中$\widehat {BC}$上一点,连接BP、PC、AP,AP交BC于点M.
(1) 求$∠BPC$的度数;120°
(2) 求证:$PA= PB+PC$.
证明:在PA上截取$PD=PC$，连接CD。$\because AB=AC=BC,\therefore \angle APB=\angle APC=60^{\circ}.\therefore \triangle PCD$为等边三角形。$\therefore$易得$\angle ADC=120^{\circ}=\angle BPC$。又$\because \angle DAC=\angle PBC,AC=BC,\therefore \triangle ACD\cong\triangle BCP.\therefore AD=PB.\therefore PA=AD+PD=PB+PC$。

答案：
(1) 解: $\because \triangle ABC$为等边三角形，$\therefore \angle BAC=60^{\circ}.\because P$为等边三角形ABC的外接圆中$\overset{\frown}{BC}$上一点，$\therefore \angle BPC+\angle BAC=180^{\circ}.\therefore \angle BPC=120^{\circ}$；
(2) 证明:在PA上截取$PD=PC$，连接CD。$\because AB=AC=BC,\therefore \angle APB=\angle APC=60^{\circ}.\therefore \triangle PCD$为等边三角形。$\therefore$易得$\angle ADC=120^{\circ}=\angle BPC$。又$\because \angle DAC=\angle PBC,AC=BC,\therefore \triangle ACD\cong\triangle BCP.\therefore AD=PB.\therefore PA=AD+PD=PB+PC$。