《2025年黄冈状元成才路状元大课堂七年级数学下册人教版》

类型 1 利用估算法比较大小
例 1 比较$\sqrt{2}+\sqrt{6}$与$\sqrt{3}+\sqrt{5}$的大小.
分析：取无理数的近似值→计算→比较大小.
解：因为$\sqrt{2}+\sqrt{6}\approx1.414 + 2.449\approx3.863$，$\sqrt{3}+\sqrt{5}\approx1.732 + 2.236\approx3.968$，所以$\sqrt{2}+\sqrt{6}＜\sqrt{3}+\sqrt{5}$.
解题策略 像$\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5},\pi$等这样常见的无理数，记住它们的近似值大小，可以直接取近似值进行估算再比较结果，简单便捷.

答案：

类型 2 利用平（立）方法比较大小
例 2 比较$\sqrt{255}$与 16 的大小.
分析：通过比较 255 与$16^{2}$的大小，得出$\sqrt{255}$与 16 的大小关系.
解：因为$16^{2}=256$，$255＜256$，所以$\sqrt{255}＜\sqrt{256}$，即$\sqrt{255}＜16$.
技巧点拨 已知$a,b$表示被开方数：
(1)若$a ＞ b$，则$\sqrt{a}＞\sqrt{b}$，即被开方数越大，对应的算术平方根越大，反之也成立；
(2)若$a ＞ b$，则$\sqrt[3]{a}＞\sqrt[3]{b}$，即被开方数越大，对应的立方根也越大，反之也成立.

答案：

类型 3 利用数轴法比较大小
例 3 [许昌期末]下列四个实数中，最大的数是( ).
A.$\sqrt{2}$ B.0 C.-4 D.$\pi$
解析：将这四个数用数轴上的点表示出来，如图所示，所以最大的数是$\pi$.

答案：D
解题策略 将实数依次用数轴上的点表示出来，各点从左到右的顺序也就是各数从小到大的顺序.

答案：

类型 4 利用作差法或分析法比较大小
例 4 比较$\frac{\sqrt{3}-1}{3}$与$\frac{1}{3}$的大小.
解法一（作差法）：本题同学们也可以用估算法求解，试试！
$\frac{\sqrt{3}-1}{3}-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{3}-1 - 1}{3}=\frac{\sqrt{3}-2}{3}$.因为$\sqrt{3}-2＜0$，所以$\frac{\sqrt{3}-1}{3}-\frac{1}{3}＜0$，所以$\frac{\sqrt{3}-1}{3}$______$\frac{1}{3}$.
解法二（分析法）：
因为$3＜4$，所以$\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即$\sqrt{3}＜2$.所以$\frac{\sqrt{3}-1}{3}＜\frac{1}{3}$.
方法总结 作差法：若$A - B＞0$，则$A＞B$；若$A - B = 0$，则$A = B$；若$A - B＜0$，则$A＜B$.

答案：

类型 5 利用特殊值法比较大小
例 5 若$0＜x＜1$，则$x,\sqrt{x},x^{2},\frac{1}{x}$的大小关系是__________.(用“＜”连接)
解析：可取一个符合题目要求的$x$的值代入各式，比较大小即可.如取$x = \frac{1}{4}$，则$\sqrt{x}=\frac{1}{2}$，$x^{2}=\frac{1}{16}$，$\frac{1}{x}=4$.因为$\frac{1}{16}＜\frac{1}{4}＜\frac{1}{2}＜4$，所以$x^{2}＜x＜\sqrt{x}＜\frac{1}{x}$.
注意：这种解题方法多用于解选择题或填空题，在解答题中，不能用类似的解题过程作为答题依据.
答案：$x^{2}＜x＜\sqrt{x}＜\frac{1}{x}$
解题策略 比较用字母表示的实数的大小，利用取特殊值法往往比较简单.

答案：