《2025年黄冈状元成才路状元大课堂七年级数学下册人教版》

例5 [一题多解][上海嘉定区期末]
解方程组：$\begin{cases}x + y = 3,①\\x + z = 1,②\\y + z = 2. ③\end{cases}$

答案：

5 - 1 已知方程组$\begin{cases}x + y = 3a,①\\y + z = 5a,②\\z + x = 4a ③\end{cases}$的解满足x - 2y + 3z = -10，则a的值为_______。

答案： $-\frac{5}{3}$

5 - 2 解方程组：$\begin{cases}x + y = -1,①\\x + z = 0, ②\\y + z = 1. ③\end{cases}$

答案： 解：①+②+③，得2x+2y+2z = 0，即x + y + z = 0.④
④ - ①，得z = 1.④ - ②，得y = 0.
④ - ③，得x = -1.
因此，这个方程组的解为$\begin{cases}x = -1\\y = 0\\z = 1\end{cases}$

例6 解方程组：$\begin{cases}x=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}, ①\\2x + y - 3z = 15. ②\end{cases}$

答案：

6 - 1 解方程组：$\begin{cases}\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{5}, ①\\x - 2y + 3z = 22. ②\end{cases}$

答案： 解：由①可设x = 2k,y = 3k,z = 5k.
把x = 2k,y = 3k,z = 5k代入②，得2k - 6k+15k = 22,k = 2.
所以x = 4,y = 6,z = 10.
因此，这个方程组的解为$\begin{cases}x = 4\\y = 6\\z = 10\end{cases}$