《2025年黄冈状元成才路状元大课堂七年级数学下册人教版》

数学活动　　轮胎换位问题
　　　　　　　　　　　　　　例题讲解
例★★★[问题情境]目前,户外骑自行车进行锻炼已经成为我们日常生活中常见的一种锻炼方式,越来越受到大众的欢迎.而在骑行的过程中,自行车的轮胎与地面摩擦会有损耗,行驶一定的里程就要报废.

[问题解决]
(1)如果前、后轮轮胎没有压力差,前轮轮胎可以使用4000km,后轮轮胎也可以使用4000km,这对轮胎行驶的里程数最大值是________km.
(2)由于后轮轮胎受到的压力大,所以损耗也大一些,如果行驶到某里程数,将前、后轮轮胎交换一次,再使用到前、后轮轮胎同时报废,可以使行驶的里程数最大.若前轮轮胎可以使用5000km,后轮轮胎可以使用3000km,行驶的里程数为多少时交换前、后轮轮胎？这对轮胎行驶的里程数最大值是多少？
分析:(1)根据前、后轮轮胎没有压力差，可得这对轮胎行驶的里程数最大值即为4000km;
(2)设每个新轮胎报废时的总磨损量为1,一对新轮胎交换位置前走了xkm,交换位置后走了ykm,根据“每种轮胎报废的磨损总量都等于1”,列出方程组,解方程组即可求解.
解:(1)4000
(2)假设每个新轮胎报废时的总磨损量为1,则安装在前轮的轮胎每行驶1km的磨损量为$\frac{1}{5000}$,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为$\frac{1}{3000}$.
设一对新轮胎交换位置前走了xkm,交换位置后走了ykm.
根据题意,得$\begin{cases}\frac{x}{5000}+\frac{y}{3000}=1\\\frac{x}{3000}+\frac{y}{5000}=1\end{cases}$,解得$\begin{cases}x = 1875\\y = 1875\end{cases}$,则$x + y = 3750$.
答:行驶的里程数为1875km时交换前、后轮轮胎,这对轮胎行驶的里程数最大值是3750km.

答案：

1.★★★自行车的前轮轮胎行驶达到3000km时报废,后轮轮胎行驶达到2000km时报废,为了行驶尽可能多的路程,采取在自行车行驶一定路程后，在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎,那么自行车上的这对轮胎最多可行驶________km.

答案： 1.2400 [解析]设行驶xkm后交换前、后轮轮胎，交换后再行驶ykm.依题意，得$\begin{cases}\frac{x}{3000}+\frac{y}{2000}=1,\\\frac{x}{2000}+\frac{y}{3000}=1.\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 1200,\\y = 1200.\end{cases}$所以$x + y = 2400$.所以自行车上的这对轮胎最多可行驶2400km.

2.★★★三轮摩托车的轮胎安装在前轮上行驶12000km后报废,安装在左后轮和右后轮则分别只能行驶7500km和5000km.为使该车行驶尽可能多的路程,采用行驶一定路程后将2条轮胎交换的方法,但在轮胎的使用寿命内最多可交换2次,那么安装在三轮摩托车上的3条轮胎最多可行驶________km.
提示:每行驶1km的磨损量从大到小的顺序为右后轮、左后轮、前轮,因此要行驶尽可能多的路程,右后轮2次都需要交换:第1次为右后轮与前轮交换,第2次为右后轮与左后轮交换.

答案： 2.7200 [解析]三轮摩托车每行驶1km，前轮轮胎、左后轮轮胎和右后轮轮胎分别损耗$\frac{1}{12000}$，$\frac{1}{7500}$和$\frac{1}{5000}$，设行驶xkm时，把前轮轮胎和右后轮轮胎交换，再走ykm，把左后轮轮胎和右后轮轮胎交换，再走zkm报废.根据题意，得$\begin{cases}\frac{x}{12000}+\frac{y}{5000}+\frac{z}{7500}=1,\\\frac{x}{7500}+\frac{y}{7500}+\frac{z}{5000}=1,\\\frac{x}{5000}+\frac{y}{12000}+\frac{z}{12000}=1.\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 3428\frac{4}{7},\\y = 3171\frac{3}{7},\\z = 600.\end{cases}$所以$x + y + z = 7200$.所以安装在三轮摩托车上的3条轮胎最多可行驶7200km.