《2025年黄冈状元成才路状元大课堂七年级数学下册人教版》

类型4 “锯齿”型
例4 如图，AB//CD，E，F是直线AB，CD之间两点，连接BE，EF，CF，则∠B，∠BEF，∠CFE，∠C有何数量关系？说明理由.
思路分析

解：∠B + ∠CFE = ∠BEF + ∠C.理由如下：
如图，过点E作EN//AB，过点F作FP//AB.
∵AB//CD，∴AB//EN//FP//CD，
∴∠B = ∠1，∠3 = ∠2，∠4 = ∠C，
∴∠B + ∠3 + ∠4 = ∠1 + ∠2 + ∠C.
∴∠B + ∠CFE = ∠BEF + ∠C.

答案：

4 - 1 如图，已知AB//CD，E，F为AB，CD之间两点，∠B = 60°，∠C = 20°，∠E = 90°，则∠F的度数为______.

答案：
4−1 50°
[变式题] 140　[解析]如图，过点E作EM//AB，过点F作FN//AB.
∵AB//CD，
∴AB//EM//FN//CD，
∴∠A = ∠AEM，∠MEF = ∠EFN，∠C+∠NFC = 180°.
∵∠A = 30°，∠AEF = 50°，∠EFC = 60°，
∴∠AEM = 30°，
∴∠EFN = ∠MEF = ∠AEF - ∠AEM = 50° - 30° = 20°，
∴∠NFC = ∠EFC - ∠EFN = 60° - 20° = 40°，
∴∠C = 180° - ∠NFC = 180° - 40° = 140°.

4 - 2 如图，若直线a//b，则∠α = ______.

答案： 4−2 64°

4 - 3 [黄石期中]如图，已知AB//EG，BC//DE，CD//EF，则x，y，z三者之间的关系是( )
A.x + y + z = 180° B.x - z = y C.y - x = z D.y - x = x - z

答案：
4−3 B　[解析]如图,延长AB交DE于点H.
∵BC//DE,
∴∠AHE = ∠ABC = x.
∵CD//EF，AB//EG，
∴∠DEF = ∠D = z，∠AHE = ∠DEG = ∠DEF+∠FEG = z + y，
∴∠ABC = ∠DEG，
∴x = z + y，即x - z = y.故选B.

4 - 4 图①为天文小组观察到的北斗星图，绘制位置图时将北斗七星：摇光、开阳、玉衡、天权、天玑、天璇、天枢分别标为A，B，C，D，E，F，G，并连接AB，BC，CD，DE，EF，FG.绘制过程中发现摇光、开阳所在的直线AB与天玑、天璇所在的直线EF几乎平行(如图②)(因为距离地球很远，看作平行).若∠HBC = 36°，∠BCD = 168°，∠DEF = 103°，求∠CDE的度数.

答案：
4−4解:如图②,过点C作CM//AH,
∴∠BCM+∠HBC = 180°.
∵∠HBC = 36°，
∴∠BCM = 180° - ∠HBC = 144°.
∴∠DCM = ∠BCD - ∠BCM = 168° - 144° = 24°.
∵CM//AH，AH//EF，
∴CM//EF，
∴易得∠CDE = ∠DCM+∠DEF = 24° + 103° = 127°.