《2025年黄冈状元成才路状元大课堂七年级数学下册人教版》

1.★★☆　在学习相交线与平行线一章时,李磊学习了垂直的定义,并仿照垂直的定义方法给出以下新定义:两条直线相交所形成的四个角中,有一个角是60°,称这两条直线互为完美交线,交点叫完美点.已知直线AB,CD互为完美交线,O为它们的完美点,OE⊥AB,则∠EOC的度数为__________.

答案：
30°或150° [解析]分两种情况讨论:①如图①,
∵直线AB,CD互为完美交线，
∴∠BOC=60°.
∵OE⊥AB,
∴∠BOE = 90°,
∴∠EOC=∠BOE−∠BOC=90°−60°=30°.②如图②,
∵直线AB,CD互为完美交线,
∴∠AOC=60°.
∵OE⊥AB,
∴∠AOE=90°,
∴∠EOC=∠AOE+∠AOC=90°+60°=150°.综上所述,∠EOC的度数为30°或150°.

2.★★☆　对于平面内的∠M和
　∠N,若存在一个常数k(k＞0),使得∠M + k∠N = 360°,
　则称∠N为∠M的k系补周角.如:若∠M = 90°,∠N = 45°,则∠N为∠M的6系补周角.如图,在平面内AB//CD,E是AB,CD 之间的一点,连接BE,DE.若∠D = 60°,∠B是∠BED的5系补周角,则∠BED的度数为____________.
　　　　　　　　　　　　　　

答案：
110° [解析]如图,过点E作EF//AB,则∠B=∠BEF.
∵AB//CD,
∴CD//EF,
∴∠DEF=∠D=60°.
∵∠B是∠BED的5系补周角，
∴∠BED+5∠B =360°.
∴∠BEF+∠DEF+5∠B=360°.
∴6∠B+60°=360°.
∴∠B=50°.
∴∠BED=360°−5∠B=110°.

3.★★☆　我们已经学习了平行线的判定条件与相关性质,涉及同位角、内错角、同旁内角.如图①,在“三线八角”中,类比内错角,具有∠1与∠8这样位置关系的角称为“外错角”,试完成下面的探究问题.
　(1)如图①,请另找出一对“外错角”:____.
　(2)猜想判定:外错角相等,两直线平行.如图②,∠1与∠2是直线a,b被直线c截出的一对外错角,且∠1 = ∠2,试说明:a//b.
　　　

答案： 解:
(1)∠2与∠7
(2)
∵∠1=∠3(对顶角相等),∠1=∠2(已知),
∴∠2=∠3(等量代换),
∴a//b(同位角相等，两直线平行).

4.★★☆　【教材回顾】如下是人教版七年级下册教材第7页,关于同旁内角的定义.
　　　　　∠3和∠6虽然也都在直线AB,CD之间，但是它们在直线EF的同一旁(左侧)，具有这种位置关系的一对角叫作同旁内角.
　　　　　
【类比探究】
　　　　　(1)如图①,具有∠1与∠2这种位置关系的一对角叫作同旁外角,请在图中再找出一对同旁外角,分别用∠3，∠4在图中标记出来;
　　　　　(2)如图②,直线a//b,当∠1 = 125°时,求∠1的同旁外角∠2的度数;
　　　　　(3)如图③,已知∠1+∠2 = 180°,试说明直线a//b,并用文字叙述你由此得出的结论.
　　　　　

答案：
解:
(1)如图①,∠3与∠4互为同旁外角

(2)如图②,
∵直线a//b,
∴∠3+∠4=180°.
又∠1=∠3,∠2=∠4,
∴∠1+∠2=180°.
∵∠1=125°,
∴∠2=180°−∠1=55°.
(3)如图③,
∵∠1+∠2=180°,∠1+∠3=180°,
∴∠2=∠3,
∴a//b.
结论:同旁外角互补，两直线平行.