《2025年黄冈状元成才路状元大课堂七年级数学下册人教版》

例3 ★★☆ 已知关于$x$的不等式组$\begin{cases}5x + 1 ＞ 3(x - 1) \\ \frac{1}{2}x \leq 8 - \frac{3}{2}x + 2a\end{cases}$恰好有两个整数解,求实数$a$的取值范围.
分析:解第一个不含字母$a$的不等式,得解集是$x ＞ - 2$.由不等式组只有两个整数解可得两个整数解为$- 1,0$,结合数轴得出$a$的取值范围.
解:解不等式$5x + 1 ＞ 3(x - 1)$,得$x ＞ - 2$.
解不等式$\frac{1}{2}x \leq 8 - \frac{3}{2}x + 2a$,得$x \leq 4 + a$.
根据题意知原不等式组的解集是$- 2 ＜ x \leq 4 + a$.
因为不等式组恰好有两个整数解,
所以这两个整数解是$- 1$和$0$.
不等式组的解集在数轴上的表示如图所示.

所以$0 \leq 4 + a ＜ 1$,所以$- 4 \leq a ＜ - 3$.

答案：

3-1 ★★☆ [丹江口期末]已知关于$x$的不等式$3x - a ＞ 1$有且只有1个负整数解,则$a$的取值范围是( )
A.$a ＞ 4$
B.$- 7 \leq a ＜ - 4$
C.$- 7 ＜ a \leq - 4$
D.$a \leq 4$

答案： B　[解析]解不等式 $3x - a＞1$，得 $x＞\frac{a + 1}{3}$. 因为不等式有且只有 1 个负整数解，所以不等式的负整数解为 $-1$，所以 $-2\leq\frac{a + 1}{3}＜ -1$，所以 $-7\leq a＜ -4$.

3-2 ★★☆ [周口郸城县期中]若关于$x$的一元一次不等式组$\begin{cases}\frac{x - 3}{2} \geq \frac{2x + 1}{3} - 3 \\ 2x - m ＞ 5\end{cases}$至少有3个整数解,则$m$的取值范围为______.

答案： $m＜5$　[解析]解不等式 $\frac{x - 3}{2}\geq\frac{2x + 1}{3}-3$，得 $x\leq7$. 解不等式 $2x - m＞5$，得 $x＞\frac{m + 5}{2}$. 根据题意知原不等式组的解集为 $\frac{m + 5}{2}＜ x\leq7$. 因为关于 $x$ 的一元一次不等式组 $\begin{cases}\frac{x - 3}{2}\geq\frac{2x + 1}{3}-3\\2x - m＞5\end{cases}$ 至少有 3 个整数解，所以 $\frac{m + 5}{2}＜5$，解得 $m＜5$.

3-3 ★★☆ 若关于$x$的一元一次不等式组$\begin{cases}2x ＜ 3(x - 3) + 1 \\ \frac{3x + 2}{4} ＞ x + a\end{cases}$恰好有四个整数解,则$a$的取值范围是______.

答案： $\frac{11}{4}\leq a＜\frac{5}{2}$　[解析]解不等式 $2x＜3(x - 3)+1$，得 $x＞8$. 解不等式 $\frac{3x + 2}{4}＞x + a$，得 $x＜2 - 4a$. 根据题意知原不等式组的解集为 $8＜ x＜2 - 4a$. 因为该不等式组恰有四个整数解，所以不等式组的整数解为 9，10，11，12. 所以 $12＜2 - 4a\leq13$，所以 $\frac{11}{4}\leq a＜\frac{5}{2}$.

3-4 ★★☆ [洛阳汝阳县期末]已知关于$x$的不等式组$\begin{cases}\frac{x}{2} + \frac{x + 1}{3} ＞ 0 \\ x + \frac{5a + 4}{3} ＞ \frac{4}{3}(x + 1) + a\end{cases}$恰好有两个整数解,试求$a$的取值范围.

答案： 解：解不等式 $\frac{x}{2}+\frac{x + 1}{3}＞0$，得 $x＞-\frac{2}{5}$.
解不等式 $x+\frac{5a + 4}{3}＞\frac{4}{3}(x + 1)+a$，得 $x＜2a$.
因为该不等式组恰有两个整数解，所以不等式组的整数解为 0，1.
所以 $1＜2a\leq2$，所以 $\frac{1}{2}＜ a\leq1$.