《2025年黄冈状元成才路状元大课堂七年级数学下册人教版》

题型二 利用垂直的定义求角度
例6 (分类讨论思想)如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD.
(1)若∠BOD：∠BOC = 1：4，求∠AOE的度数；
　　　　　　　　　　　　　
(2)在(1)的条件下，过点O作OF⊥AB，求∠EOF的度数.
解：(1)因为∠BOD：∠BOC = 1：4，∠BOD + ∠BOC = 180°，所以∠BOD = 180°×$\frac{1}{5}$ = 36°，
所以∠AOC = ∠BOD = 36°.
因为OE⊥CD，所以∠COE = 90°，
所以∠AOE = ∠AOC + ∠COE = 36° + 90° = 126°.
(2)因为OE⊥CD，所以∠EOD = 90°.
因为∠BOD = 36°，
所以∠EOB = ∠EOD - ∠BOD = 90° - 36° = 54°.
分两种情况讨论：
①如图①，当OF在AB的下方时，
因为OF⊥AB，所以∠BOF = 90°，
所以∠EOF = ∠BOF + ∠EOB = 90° + 54° = 144°;

②如图②，当OF在AB的上方时，
因为OF⊥AB，所以∠BOF = 90°，
所以∠EOF = ∠BOF - ∠EOB = 90° - 54° = 36°.
综上所述，∠EOF的度数为144°或36°.
解题策略 利用垂直的定义求角度，通常是通过垂直关系得到90°角，结合邻补角、对顶角等知识，利用角的和差、角平分线求解.

答案：

举一反三训练
6 - 1 (跨物理·光的反射)老张想运用光的反射原理帮出远门的邻居照看点D处一只羊的情况.如图，他在BC处悬挂一面镜子，站在二楼观看，其视线AF与镜面BC的夹角∠AFB = 50°，此时他正好能通过镜子看到点D处羊的状况，根据光的反射原理可知∠AFB = ∠CFD，若FD与水平面EF垂直，则镜子倾斜的角度∠EFB = ________.
　　　　　　　　

答案： 6-1 40°

6 - 2 (易错题)在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD于点O.当∠AOC = 30°时，∠BOD的度数为________.

答案：
6-2 60°或120° [解析]分两种情况讨论:①如图①,因为OC⊥OD,所以∠COD = 90°,所以∠BOD = 180° - ∠AOC - ∠COD = 60°;②如图②,因为OC⊥OD,所以∠COD = 90°,所以∠AOD = ∠COD - ∠AOC = 60°,所以∠BOD = 180° - ∠AOD = 120°.综上所述，∠BOD的度数为60°或120°.
　　　　　
　　易错点:此题由于没有给出图形,很容易考虑不周全,只找出一种情况，忽略另一种情况.

6 - 3 (方程思想)如图，直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD，OE平分∠BOC.
(1)若∠BOE = 60°，求∠AOF的度数；

(2)若∠BOD：∠BOE = 4：3，求∠AOF的度数.

答案： 6-3解:
(1)因为OE平分∠BOC，∠BOE = 60°，
　　所以∠BOC = 2∠BOE = 120°，
　　所以∠AOC = 180° - ∠BOC = 180° - 120° = 60°.
　　因为OF⊥CD，所以∠COF = 90°，
　　所以∠AOF = ∠COF - ∠AOC = 90° - 60° = 30°.
(2)因为OE平分∠BOC，所以∠COE = ∠BOE.
　　因为∠BOD:∠BOE = 4:3，
　　所以设∠BOD = (4x)°，则∠BOE = (3x)°.
　　所以∠COE = ∠BOE = (3x)°.
　　因为∠BOD+∠BOE+∠COE = 180°，
　　所以4x + 3x + 3x = 180，解得x = 18.
　　所以∠BOD = (4x)° = 72°，
　　所以∠AOC = ∠BOD = 72°.
　　因为OF⊥CD，所以∠COF = 90°，
　　所以∠AOF = ∠COF - ∠AOC = 90° - 72° = 18°.