《2025年黄冈状元成才路状元大课堂七年级数学下册人教版》

类型 3 解系数轮换型方程组
例 3 解方程组：$\begin{cases}23x + 37y = 97, &①\\37x + 23y = 83. &②\end{cases}$
解：①+②，得$60(x + y)=180$，即$x + y = 3$.③
② - ①，得$14(x - y)= - 14$，即$x - y = - 1$.④
联立，得$\begin{cases}x + y = 3, &③\\x - y = - 1. &④\end{cases}$
③+④，得$2x = 2$，$x = 1$.把$x = 1$代入③，得$y = 2$.
所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 1,\\y = 2.\end{cases}$
技巧点拨 对于形如$\begin{cases}ax + by = m,\\bx + ay = n\end{cases}$的系数轮换型方程组，可通过将两个方程相加减，得到系数简单的新方程组$\begin{cases}x + y = p,\\x - y = q,\end{cases}$再运用加减法求解。

答案：

3 - 1 解下列方程组：
(1)$\begin{cases}9x + 7y = 39, &①\\7x + 9y = 41; &②\end{cases}$
(2)$\begin{cases}\frac{1}{2}x + 4y = 17, &①\\4x+\frac{1}{2}y = 10. &②\end{cases}$

答案： 解:
(1)①+②,得16(x+y)=80,即x+y=5.③
　　①−②,得2(x−y)=−2,即x−y=−1.④
　　联立，得$\begin{cases}x + y = 5,③\\x - y = - 1.④\end{cases}$
　　③+④,得2x=4,x=2.
　　把x=2代入③,得y=3.
　　所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 2,\\y = 3.\end{cases}$
(2)①+②,得$\frac{9}{2}(x + y)=27$，即x+y=6.③
　　②−①,得$\frac{7}{2}(x−y)=−7$,即x−y=−2.④
　　联立，得$\begin{cases}x + y = 6,③\\x - y = - 2.④\end{cases}$
　　③+④,得2x=4,x=2.
　　把x=2代入③,得y=4.
　　所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 2,\\y = 4.\end{cases}$

类型 4 叠加叠减法解系数较大的方程组
例 4 阅读下列解方程组的方法，然后回答问题。
解方程组：$\begin{cases}19x + 18y = 17, &①\\17x + 16y = 15. &②\end{cases}$
解：① - ②，得$2x + 2y = 2$，即$x + y = 1$.③
③×16，得$16x + 16y = 16$.④
② - ④，得$x = - 1$.
把$x = - 1$代入③，得$y = 2$.
所以这个方程组的解是$\begin{cases}x = - 1,\\y = 2.\end{cases}$

答案：