《2025年黄冈状元成才路状元大课堂七年级数学下册人教版》

7 - 2★★　[玉林兴业县期末]如图，AB//CD，射线AE与CD交于点F，射线CG与AE交于点H。若AD是∠BAE的平分线，且∠DAE = ∠C，∠AHG = 130°，求∠D的度数。
　　　　　　　　　　　　

答案： 7-2 解：
∵AB//CD，
∴∠BAD = ∠D.
∵AD是∠BAE的平分线，
∴∠BAD = ∠DAE，
∴∠D = ∠DAE.
∵∠DAE = ∠C，
∴∠D = ∠C，
∴AD//CG.
∵∠AHG = 130°，
∴∠DAE = 180° - ∠AHG = 180° - 130° = 50°，
∴∠D = ∠DAE = 50°.

举一反三训练
例8★★　[一题多问][问题情境]某学习小组在探索“一个角的两边与另一个角的两边分别平行时的数量关系”问题时，画出了如图①、图②所示两种情况。
　　
请你来参与探索，解决下列问题：

[问题初探]
(1)①如图①，AB//EF，AC//DE，则∠1与∠2之间的数量关系为__________；
②如图②，AB//EF，AC//DE，则∠1与∠2之间的数量关系为__________。

[类比再探]
(2)结合图③、图④，我们可以得出：若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系为__________。

[拓展应用]
(3)若两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的2倍少60°，求这两个角的度数。
解：(1)①∠1 = ∠2
[解析]∵AB//EF，∴∠2 = ∠3。∵AC//DE，∴∠1 = ∠3。∴∠1 = ∠2。
②∠1 + ∠2 = 180°
[解析]∵AB//EF，∴∠2 + ∠3 = 180°。∵AC//DE，∴∠1 = ∠3。∴∠1 + ∠2 = 180°。
(2)相等或互补
(3)设其中一个角的度数为x°，则另一角的度数为(2x - 60)°。
①当两个角相等时，x = 2x - 60，解得x = 60。
此时两个角的度数分别为60°，60°。
②当两个角互补时，x + 2x - 60 = 180，
解得x = 80，则2x - 60 = 100。
此时两个角的度数分别为80°，100°。
综上所述，这两个角的度数为60°，60°或80°，100°。

答案：

8 - 1★★　[驻马店汝南县期末]课上教师呈现一个问题：
已知：如图，AB//CD，EF⊥AB于点O，FG交CD于点P，当∠1 = 30°时，求∠EFG的度数。
甲、乙、丙三位同学用不同的方法添加辅助线解决问题，如图：
　　　
甲同学辅助线的做法和分析思路如下：
辅助线：过点F作MN//CD。
分析思路：
(1)欲求∠EFG的度数，由图可知只需转化为求∠2和∠3的度数；
(2)由辅助线作图可知，∠2 = ∠1，又由已知∠1的度数可得∠2的度数；
(3)由AB//CD，MN//CD推出AB//MN，由此可推出∠3 = ∠4；
(4)由已知EF⊥AB，可得∠4 = 90°，所以可得∠3的度数；
(5)从而可求∠EFG的度数。
(1)请你根据乙同学所画的图形，描述辅助线的做法，并写出相应的分析思路。
辅助线：______________________________；
分析思路：
(2)请你根据丙同学所画的图形，求∠EFG的度数。

答案： 8-1 解：
(1)过点P作PN//EF交AB于点N
①欲求∠EFG的度数，由辅助线作图可知∠EFG = ∠NPG，因此，只需转化为求∠NPD和∠1的度数；
②又已知∠1的度数，因此只需求出∠NPD的度数；
③由已知EF⊥AB，可得∠NOF = 90°；
④由PN//EF，可推出∠BNP = ∠NOF；
⑤由已知AB//CD可推出∠NPD + ∠BNP = 180°，由此可推∠NPD的度数；
⑥从而可以求∠EFG的度数.
(2)过点O作ON//FG，交CD于点N，
∴∠ONC = ∠1 = 30°，∠EFG = ∠EON.
∵AB//CD，
∴∠BON = ∠ONC = 30°.
∵EF⊥AB，
∴∠EOB = 90°，
∴∠EFG = ∠EON = ∠EOB + ∠BON = 90° + 30° = 120°.