《2025年黄冈状元成才路状元大课堂七年级数学下册人教版》

例1 ★★☆ 已知不等式$\frac{1}{3}x - 1 ＜ 2m$.
(1)若不等式$\frac{1}{3}x - 1 ＜ 2m$的解集是$x ＜ 5$,则$m$的值是______;
(2)若关于$x$的不等式组$\begin{cases}\frac{1}{3}x - 1 ＜ 2m \\ 2x - m ＜ 6\end{cases}$的解集是$x ＜ 6m + 3$,则$m$的取值范围是______.
解析:(1)解不等式$\frac{1}{3}x - 1 ＜ 2m$,得$x ＜ 6m + 3$.因为不等式的解集是$x ＜ 5$,所以$6m + 3 = 5$,解得$m =$______.
(2)解不等式$2x - m ＜ 6$,得$x ＜ \frac{m + 6}{2}$.因为不等式组的解集是$x ＜ 6m + 3$,所以不等式组的解集在数轴上的表示如图①或图②所示.所以$6m + 3 \leq \frac{m + 6}{2}$,解得$m \leq$______.
答案:(1)$\frac{1}{3}$ (2)$m \leq 0$

答案：

1-1 ★★☆ 已知关于$x$的不等式$\frac{a + 2}{2} \geq \frac{x - 1}{3}$的解集如图所示,则$a =$______.

答案： $\frac{8}{3}$

1-2 ★★☆ [日照中考]若关于$x$的不等式组$\begin{cases}x + 6 ＜ 4x - 3 \\ x ＞ m\end{cases}$的解集是$x ＞ 3$,则$m$的取值范围是( )
A.$m ＞ 3$
B.$m \geq 3$
C.$m \leq 3$
D.$m ＜ 3$

答案： C

1-3 ★★☆ [洛阳汝阳县期中]关于$x$的不等式$x - a \geq 1$.若$x = 1$是不等式的解,$x = - 1$不是不等式的解,则$a$的取值范围为( )
A.$- 2 \leq a \leq 0$
B.$- 2 ＜ a ＜ 0$
C.$- 2 \leq a ＜ 0$
D.$- 2 ＜ a \leq 0$

答案： D　[解析]因为 $x - a\geq1$，所以 $x\geq a + 1$. 因为 $x = 1$ 是不等式的解，所以 $a + 1\leq1$，解得 $a\leq0$. 因为 $x = -1$ 不是不等式的解，所以 $a + 1＞ -1$，解得 $a＞ -2$. 所以 $-2＜ a\leq0$.

1-4 ★★☆ 已知不等式组$\begin{cases}x - 1 ＜ 2n \\ 2x + 5 ＞ 6m - 1\end{cases}$的解集是$- 6 ＜ x ＜ 3$,求$2m + n$的值.

答案： 解：解不等式 $x - 1＜2n$，得 $x＜2n + 1$.
解不等式 $2x + 5＞6m - 1$，得 $x＞3m - 3$.
因为不等式组的解集为 $-6＜ x＜3$，
所以 $3m - 3 = -6$，$2n + 1 = 3$，所以 $m = -1$，$n = 1$.
所以 $2m + n = 2\times(-1)+1 = -1$.