《2025年黄冈状元成才路状元大课堂七年级数学下册人教版》

例 4 [★★☆]已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}2x + y = -2,\\ax + by = -4\end{cases}$和$\begin{cases}3x - y = 12,\\bx + ay = -4\end{cases}$的解相同,求$(5a + b)^2$的值.
思路分析
将不含$a,b$的两个方程重组成新方程组→求新方程组的解→将解代入含$a,b$的两个方程,组成方程组求$a,b$
解:解方程组$\begin{cases}2x + y = -2,\\3x - y = 12,\end{cases}$得$\begin{cases}x = 2,\\y = -6.\end{cases}$
把$\begin{cases}x = 2,\\y = -6\end{cases}$代入$\begin{cases}ax + by = -4,\\bx + ay = -4,\end{cases}$得$\begin{cases}2a - 6b = -4,\\2b - 6a = -4.\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 1,\\b = 1.\end{cases}$
所以$(5a + b)^2 = (5×1 + 1)^2 = 36$.

答案：

4 - 1 [★★☆][周口沈丘县期末]已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}3x - 2y = 4,\\mx + ny = 7\end{cases}$与$\begin{cases}2mx - 3ny = 19,\\5y - x = 3\end{cases}$的解相同,求$m,n$的值.

答案： 解：解方程组$\begin{cases}3x - 2y = 4\\5y - x = 3\end{cases}$得$\begin{cases}x = 2\\y = 1\end{cases}$.
把$\begin{cases}x = 2\\y = 1\end{cases}$代入$\begin{cases}mx + ny = 7\\2mx - 3ny = 19\end{cases}$，
得$\begin{cases}2m + n = 7\\4m - 3n = 19\end{cases}$解得$\begin{cases}m = 4\\n = -1\end{cases}$.
所以$m$的值为$4$，$n$的值为$-1$.

4 - 2 [★★☆][张家界永定区期末]已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}2x - 3y = 8,\\(1 - 2m)x + 2y = 1 - n\end{cases}$与方程组$\begin{cases}x - 2y = 5,\\nx + y = m + 1\end{cases}$的解相同,求$m,n$的值.

答案： 4-2 解：解方程组$\begin{cases}2x - 3y = 8\\x - 2y = 5\end{cases}$得$\begin{cases}x = 1\\y = -2\end{cases}$. 把$\begin{cases}x = 1\\y = -2\end{cases}$代入$\begin{cases}(1 - 2m)x + 2y = 1 - n\\nx + y = m + 1\end{cases}$， 得$\begin{cases}1 - 2m + 2×(-2) = 1 - n\\n - 2 = m + 1\end{cases}$解得$\begin{cases}m = -1\\n = 2\end{cases}$. 所以$m$的值为$-1$，$n$的值为$2$.